Relation auf N, die reflexiv, symmetrisch aber nicht transitiv ist.

Question

Geben Sie (mit Beweis) ein Beispiel für eine Relation auf N an, welche reflexiv auf N und symmetrisch auf N, aber nicht transitiv auf N, ist.

*N=Natürliche Zahlen

Answer 1

Wähle eine Äquivalenzrelation auf N, in der mindestens eine Äquivalenzklasse mindestens drei Elemente hat.

Wähle aus der Äquivalenzrelation eine Äquivalenklasse mit drei oder mehr Elementen.

Wähle aus der Äquivalenklasse zwei verschiedene Elemente a und b aus.

Entferne (a,b) und (b,a) aus der Relation.

Answer 2

R = ∈ {  ( a;b) ∈ IN x IN  |  |b-a|  < 2 } 

reflexiv:    Für alle ( a,a) gilt  | a-a | = 0 < 2

wenn |b-a| < 2 dann auch | b-a| = |a-b| < 2

aber  ( 1 ; 2)   ∈ R  und  ( 2 ; 3 )   ∈ R  

da  | 2-1| =  | 3-2|  =  1   < 2aber ( 1;3 ) ∉ R, da  | 3 - 1 | = 2  also nicht  <2 .