Konvergieren die folgenden Folgen? Falls ja, so bestimmen Sie die zugehörigen Grenzwerte.
$$ \begin{aligned} \left(x_{n}\right)_{\mathrm{nEN}}:=(\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}-n})_{n \in \mathbb{N}}, &\quad \left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}:=\left(\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{n^{3}}{2 n^{4}+k}\right)_{n \in \mathbb{N}} \\ \left(z_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}:=\left(\frac{n !}{n^{n}}\right)_{n \in \mathbb{N}}, &\quad \left(\xi_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}:=\left(-\frac{1}{n} \cos \left(n^{3}\right)\right)_{n \in \mathbb{N}} \end{aligned} $$
*Fußnote: 1 Bitte denken Sie daran, dass eine solche Aufgabenstellung stets auch einen begründeten Beleg bzw. eine begruündende Rechnung für Ihre Antwort umfasst.
