Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfen

Question

komme mit der Aufgabe nicht voran, könnte mir jemand bitte behilflich sein

Danke

Answer 1

a)

w₁ = v₁ + 2v₂ + v₃  und  w₂ = 2v₁ + 3v₂ + v₄  und  w₃ = 2v₃ + 3 v₄

M = { w₁ , w₂ , w₃ }  ist genau dann linear unabhängig, wenn sich der Nullvekor  \(\vec{0}\)  nur auf triviale Weise als Linearkombination von m darstellen lässt, d.h: 

r * w₁ + s *  w₂ + t *  w₃ =  \(\vec{0}\)     ⇒   r = s = t = 0  

r * ( v₁ + 2v₂ + v₃ ) + s * ( 2v₁ + 3v₂ + v₄ ) + t * ( 2v₃ + 3 v₄ ) =  \(\vec{0}\)

Klammern auflösen und die v_k  teilweise ausklammern:

⇔   (r+2s) * v₁ + (2r+3s) * v₂ + (r+2t) * v₃ + (s+3t) * v₄  =  \(\vec{0}\)

Diese Koeffizienten  müssen wegen der linearen Unabhängigkeit der v_k Null sein:

r+2s = 0  und  2r+3s = 0 und  r+2t  = 0  und  s+3t = 0

Dieses  LGS hat die eindeutige Lösung   r = 0 ∧ s = 0 ∧ t = 0

→   { w₁ , w₂ , w₃ }  ist linear unabhängig

b) analog

Gruß Wolfgang