Basis im R4 bestimmen, aber nur 3 Vektoren sind gegeben. Wie mache ich das dann?

Question

Ich habe 3 Vektoren  1223, 3451, 2213 (entschuldigt die hässliche Darstellung) und nun soll ich die Basis bestimmen. Aber um den Gauß-Algorithmus drauf loszulassen brauche ich nen vierten. Wie komme ich da ran?

Comments

Wovon sollst du die Basis bestimmen?

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Diese 3 Vektoren bilden eine Linearkombination in R4 und und davon halt die Basis, aber mir fehlt der vierte Vektor für den Gauß...

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Was? Meinst du vielleicht eher ein Erzeugendensystem? Oder lineare Hülle der Menge?

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Ich will die basis von V e R4 bestimmen. V = lin (a1,a2,a3). Die as sind eben meine 3 Vektoren.

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Geht doch. Du sollst die lineare Hülle der Menge der 3 Vektoren bestimmen. Dazu brauchst du keinen 4. Vektor. Überprüfe ob die 3 Vektoren linear unabhängig sind, wenn ja dann bilden sie bereits eine Basis dieser linearen Hülle.

Answer 1

Du machst mit den dreien eine Lin.komb. für den 0-Vektor,

das gibt ein Gl.system wie 

 1223, 3451, 2213

x + 3y + 2z = 0
2x+4y  +2z = 0
2x + 5y + z = 0
3x + y +3z = 0   

Dann Gauss anwenden:

x + 3y + 2z = 0
0  -2y    -4z  = 0
0  -y     -3z   = 0
0  -8y   -3z   = 0

und dann

x + 3y + 2z = 0
0  -2y    -4z  = 0
0     0      2z   = 0
0      0    13z   = 0

Also Rang = 3  bzw:   Die letzen beiden Gleichungen sagen z=0.

Das in die 2. gibt   y =0   und alles in die

erste gibt  x = 0  .

Also lin. unabh.   D.h.:  Die drei bilden eine

Basis für die lin. Hülle.