Untersuchen Sie die folgende Grenzwerte ob sie existieren: √(1/|x| + √(1/|x|)) - √(1/|x| - √(1/|x|))

Question

 ich habe folgende Aufgabe und muss untersuchen, ob die Grenzwerte existieren: 

Comments

X¹⁰⁰[1/x] (limes geges unendlich)

X^r-1/x-1 (limes gegen 1)

(√(hier die ganze ist unter dem Wurzel1/|x|+√1/|x|)- √(hier auch)1/|x|-√1/|x| (Limes gegen 0)

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EDIT: Möchtest du noch irgendwo Klammern oder sonst was ergänzen?

Bsp. So wie es dasteht, gilt

X^r-1/x-1 (limes x gegen 1)    | 1 einsetzen

1^r - 1 - 1      | r reelle Zahl ?

= 1 - 2 

= -1 

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b) Findest du hier: https://www.mathelounge.de/405734/untersuchen-sie-ob-die-grenzwerte-existieren-lim-gegen-x-r-%E2%88%88

Answer 1

mit der Substitution z = 1/|x|  kannst du

lim_z→∞  [ √(z+√(z)) - √(z-√(z)) ]  berechnen:

                 mit  √(z+√(z)) + √(z-√(z))  erweitern:

=   lim_z→∞  [  [ √(z+√(z)) - √(z-√(z)) ] · [ √(z+√(z)) + √(z-√(z)) ]  /  [ √(z+√(z)) + √(z-√(z)) ]  ]

                  im Zähler 3.binomische Formel anwenden:

=  lim_z→∞   [  [ z+√(z) - (z-√(z)) ]  /   [ √(z+√(z)) + √(z-√(z)) ]  ]

=   lim_z→∞  [  2 · √z  /  [ √(z+√(z)) + √(z-√(z)) ]  ]

         durch √z  kürzen  [ √a/√b = √(a/b) beachten ] :

=   lim_z→∞  [ 2 /  [ √( (z + √(z)) / z ) + √( (z - √(z)) / z ) ]

=   lim_z→∞  [ 2 /  [ √(1 + 1/√z) + √(1 - 1/√z) ]   =  2 / 2   =  1 

Gruß Wolfgang