Geometrische Verteilung in Reihe ausgedrückt

Question

es geht um die Aufgabe auf dem Foto.

Mir ist nicht ganz klar, wie die (feste) Wahrscheinlichkeit q in diesem Fall aussehen soll.... Es gibt ja in jeder Runde 3 Würfe und nur im ersten davon kann Harry gewinnen.. also Wahrscheinlichkeit 1/3 für Harry im jeweils ersten Wurf, aber die beiden anderen Würfe von Hermine müssten ja auch eine Rolle spielen , oder nicht? Denn nur, wenn Hermine verliert, kann Harry wieder werfen...

wie kann ich diesen Sachverhalt in nur einer Reihe ausdrücken?

Answer 1

überlege dir die ersten paar möglichen Szenarien:

er gewinnt beim ersten Wurf: 

p₀=1/3 

er gewinnt nach dem ersten Durchgang: es wird 3 mal keine 1 oder 6 geworfen, danach wirft er eine 1 oder 6 

p₁=(2/3)^3*1/3

bei noch mehr Durchgängen: es werden immer drei Würfe ohne 1 oder 6 eingeschoben:

p_n+1=p_n*(2/3)^3

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist die Summe über alle Teilwahrscheinlichkeiten.

$$ p=\sum_{n=0}^{\infty}{{ p }_{ n }}=\sum_{n=0}^{\infty}{{ (\frac { 2 }{ 3 }) }^{ 3n }}\frac { 1 }{ 3 }\\=\frac { 1 }{ 3 }\sum_{n=0}^{\infty}{{ (\frac { 8 }{ 27 }) }^{ n }}\\=\frac { 1 }{ 3 }\frac { 27 }{ 19 }=\frac { 9 }{ 19 } $$