Eine Menge ist ein Unterraum wenn wenn sie nichtleer und abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation ist.
Nehmen wir zum Beispiel die Menge W.
W ist nichtleer da der Nullvektor (0,0,0) ein Element von W ist, da der Nullvektor (x1, x2, x3)=(0,0,0) die Bedingung $$x_1=2\cdot x_2=3\cdot x_3$$ erfüllt.
Sein (a,b,c) und (x,y,z) Elemente von W, dann $$a=2b=3c \ \ \text{ und } \ \ x+2y=3z$$
Wir wollen prüfen ob (a,b,c)+(x,y,z) auch ein Element von W ist. Wir haben folgendes: $$(a, b, c)+(x,y,z)=(a+x, b+y, c+z) \\ a+x=2b+2y=2(b+y) \ \ \text{ und } \ \ a+x=2b+2y=3c+3z=3(c+z)$$
Also die Menge ist bezüglich der Vektoraddition abgeschlosse.
Sei λ∈ℝ.
Wir wollen prüfen ob λ(a,b,c) auch ein Element von W ist. Wir haben folgendes: $$\lambda (a,b,c)=(\lambda a, \lambda b, \lambda c) : \lambda a=\lambda (2b)=2\lambda b \ \\text{ und } \ \ \lambda a=\lambda (2b)=\lambda (3c)=3\lambda c$$
Also W ist ein Untervektorraum.
