Mit Hilfe von der De L'Hospital Regel:
Wenn wir x einsetzen bekommen wir den Bruch 0/0, also können wir die Regel benutzen. Wir leiten also den Zähler und den Nenner getrennt ab:
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^r-1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left((1+x)^r-1\right)'}{\left(x\right)'}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{r(1+x)^{r-1}}{1}=\lim_{x\rightarrow 0}r(1+x)^{r-1}=r(1+0)^{r-1}=r$$