Beweisen Sie folgende Aussage: Für jeden positiven natürlichen/rationalen exponenten r gilt lim ((1+x)^r-1)/x = r

Question

Beweis: Für  jeden positiven natürlichen/rationalen exponenten r gilt :     lim ((1+x)^r-1)/x = r 

Comments

Das x geht zu 0?

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Kennst du die l'Hospital Regel?

Answer 1

Mit Hilfe von der De L'Hospital Regel: 

Wenn wir x einsetzen bekommen wir den Bruch 0/0, also können wir die Regel benutzen. Wir leiten also den Zähler und den Nenner getrennt ab: 

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^r-1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left((1+x)^r-1\right)'}{\left(x\right)'}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{r(1+x)^{r-1}}{1}=\lim_{x\rightarrow 0}r(1+x)^{r-1}=r(1+0)^{r-1}=r$$  

Comments

Da braucht man doch keinen l'H., wenn der gesuchte Grenzwert nichs anderes ist als die Definition der Ableitung von f mit  f(x) = (1+x)^r an der Stelle 0.