Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n≥2 erfüllt ist:

Question

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen \( n \geq 2 \) erfüllt ist:
$$ \left(\prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k}\right)=\right)\left(1-\frac{1}{2}\right) \cdot\left(1-\frac{1}{3}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n} $$

Answer 1

Den Anfang für k=2 kriegst du bestimmt selbst hin.

Zum Induktionsschritt:

\( \prod_{k=2}^{n+1}{(1-\frac{1}{k}} )\) = \( \prod_{k=2}^{n}{(1-\frac{1}{k}}) \) * (1-\( \frac{1}{n+1} \))

Jetzt kannst du die Annahme einsetzen

= \( \frac{1}{n} \) * (1-\( \frac{1}{n+1} \))

= \( \frac{1}{n} \)*(\( \frac{n+1}{n+1} \)-\( \frac{1}{n+1} \))

=\( \frac{1}{n} \)*\( \frac{n}{n+1} \)

=\( \frac{1}{n+1} \)

Und fertig :)