Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n>0 erfüllt ist:

Question

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen $n>0$ erfüllt ist:

$$\left(\sum \limits_{k=1}^{n} 4 k-1=\right) 3+7+11+\ldots+(4 n-1)=2 n^{2}+n$$

Answer 1

$\left.3+7+11+\ldots+(4 n-1)=\sum \limits_{k=1}^{n}(4 k-1)=2 n^{2}+n \quad \text { (für alle } n \geq 1\right)$
Induktionsanfang: $n=1$ : linke Seite: 3

                                            rechte Seite: 2 · 1³ +1 = 3

Induktionsschluss:
$\sum \limits_{k=1}^{n+1}(4 k-1) =\sum \limits_{k=1}^{n}(4 k-1)+(4(n+1)-1)=2 n^{2}+n+4 n+4-1=2 n^{2}+5 n+3$
$=\left(2 n^{2}+4 n+2\right)+(n+1)=2(n+1)^{2}+(n+1) \quad$ q.e.d.

Answer 2

Hallo

 nach dem Zeigen für n=1 musst du doch nur zeigen dass

2(n+1)²+n+1=2n²+n+4(n+1)-1 ist was daran kannst du denn nicht nachrechnen ?

Gruß lul