Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n>0 n>0 n>0 erfüllt ist:
(∑k=1n4k−1=)3+7+11+…+(4n−1)=2n2+n \left(\sum \limits_{k=1}^{n} 4 k-1=\right) 3+7+11+\ldots+(4 n-1)=2 n^{2}+n (k=1∑n4k−1=)3+7+11+…+(4n−1)=2n2+n
3+7+11+…+(4n−1)=∑k=1n(4k−1)=2n2+n (fu¨r alle n≥1) \left.3+7+11+\ldots+(4 n-1)=\sum \limits_{k=1}^{n}(4 k-1)=2 n^{2}+n \quad \text { (für alle } n \geq 1\right) 3+7+11+…+(4n−1)=k=1∑n(4k−1)=2n2+n (fu¨r alle n≥1) Induktionsanfang: n=1 n=1 n=1 : linke Seite: 3
rechte Seite: 2 · 13 +1 = 3
Induktionsschluss:∑k=1n+1(4k−1)=∑k=1n(4k−1)+(4(n+1)−1)=2n2+n+4n+4−1=2n2+5n+3 \sum \limits_{k=1}^{n+1}(4 k-1) =\sum \limits_{k=1}^{n}(4 k-1)+(4(n+1)-1)=2 n^{2}+n+4 n+4-1=2 n^{2}+5 n+3 k=1∑n+1(4k−1)=k=1∑n(4k−1)+(4(n+1)−1)=2n2+n+4n+4−1=2n2+5n+3=(2n2+4n+2)+(n+1)=2(n+1)2+(n+1) =\left(2 n^{2}+4 n+2\right)+(n+1)=2(n+1)^{2}+(n+1) \quad =(2n2+4n+2)+(n+1)=2(n+1)2+(n+1) q.e.d.
Hallo
nach dem Zeigen für n=1 musst du doch nur zeigen dass
2(n+1)2+n+1=2n2+n+4(n+1)-1 ist was daran kannst du denn nicht nachrechnen ?
Gruß lul
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