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Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n>0 n>0 erfüllt ist:

(k=1n4k1=)3+7+11++(4n1)=2n2+n \left(\sum \limits_{k=1}^{n} 4 k-1=\right) 3+7+11+\ldots+(4 n-1)=2 n^{2}+n

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3+7+11++(4n1)=k=1n(4k1)=2n2+n (fu¨r alle n1) \left.3+7+11+\ldots+(4 n-1)=\sum \limits_{k=1}^{n}(4 k-1)=2 n^{2}+n \quad \text { (für alle } n \geq 1\right)
Induktionsanfang: n=1 n=1 : linke Seite: 3

                                            rechte Seite: 2 · 13 +1 = 3


Induktionsschluss:
k=1n+1(4k1)=k=1n(4k1)+(4(n+1)1)=2n2+n+4n+41=2n2+5n+3 \sum \limits_{k=1}^{n+1}(4 k-1) =\sum \limits_{k=1}^{n}(4 k-1)+(4(n+1)-1)=2 n^{2}+n+4 n+4-1=2 n^{2}+5 n+3
=(2n2+4n+2)+(n+1)=2(n+1)2+(n+1) =\left(2 n^{2}+4 n+2\right)+(n+1)=2(n+1)^{2}+(n+1) \quad q.e.d.

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Hallo

 nach dem Zeigen für n=1 musst du doch nur zeigen dass

2(n+1)2+n+1=2n2+n+4(n+1)-1 ist was daran kannst du denn nicht nachrechnen ?

Gruß lul

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