Question

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen \( n>0 \) erfüllt ist:

$$ \left(\sum \limits_{k=1}^{n} 4 k-1=\right) 3+7+11+\ldots+(4 n-1)=2 n^{2}+n $$

Answer 1

\( \left.3+7+11+\ldots+(4 n-1)=\sum \limits_{k=1}^{n}(4 k-1)=2 n^{2}+n        \quad \text { (für alle } n \geq 1\right) \)
Induktionsanfang: \( n=1 \) : linke Seite: 3

                                            rechte Seite: 2 · 1³ +1 = 3

Induktionsschluss:
\( \sum \limits_{k=1}^{n+1}(4 k-1) =\sum \limits_{k=1}^{n}(4 k-1)+(4(n+1)-1)=2 n^{2}+n+4 n+4-1=2 n^{2}+5 n+3 \)
\( =\left(2 n^{2}+4 n+2\right)+(n+1)=2(n+1)^{2}+(n+1) \quad \) q.e.d.

Answer 2

Hallo

 nach dem Zeigen für n=1 musst du doch nur zeigen dass

2(n+1)^2+n+1=2n^2+n+4(n+1)-1 ist was daran kannst du denn nicht nachrechnen ?

Gruß lul