Symmetrie, Funktionen f(x)= (x^2+3)*(x^2-1)

Question

f(x)= (x^2+3)*(x^2-1)

Warum ist der Graph der Funktion f symmetrisch zur y Achse?

Wäre die Funktion ausmultipliziert so?

f(x)= 2x^2 (oder x^4?) -1x^2+3x^2-3 ?

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Einführendes zur Symmetrie von Polynomen:

https://www.matheretter.de/wiki/achsensymmetrie

https://youtu.be/k3phlEIcd4Q

Answer 1

f(x)= (x²+3)*(x²-1) Ausmultiplizieren (jedes Glied der zweiten Klammer mit jedem Glied der erste Klammer multiplizieren) f(x)=x²·x²+3·x²-1·x²-1·3= x⁴+2x²-3.

Hier kommen nur gerade Exponenten vor. Daher gilt f/x)=f(-x) und der Graph ist achsensymmetrisch zur y.Achse.

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Answer 2

f(x)= (x²+3)*(x²-1)  

Da hier nur gerade Exponenten bei den x-Potenzen vorkommen, ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.

[ Es gilt f(-x) = ((-x)² + 3) * ((-x)² - 1) = (x²+3)*(x²-1) = f(x) ]

Gruß Wolfgang

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Auf die Frage in welchen bereichen der graph monoton steigend und fallend ist, würde das stimmen?:

x< -3 ist die funktion streng monoton fallend oder y< -3 ?

y> -3 streng monton steigend?

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Wenn f(x) ableitest, erhältst du

f '(x) = 4x³ + 4x  = 0  ↔  4 * x * (x²  + 1) = 0   ↔  x = 0

Die Steigung f ' kann sich also nur bei x = 0 ändern

f ' > 0 für x > 0     →  f ist in [ 0 ; ∞ [  streng monoton steigend

f ' < 0 für x < 0     →  f ist in ] - ∞ ; 0 ]   streng monoton fallend  

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f ist in f ist in [ 0 ; ∞ [ steigend

und f ist in [ 0 ; -∞ [ fallend oder nich?

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> f ist in [ 0 ; -∞ [ fallend oder nich? 

] - ∞ ; 0 ] , untere Grenze des Intervalls zuerst