Ist dies eine Plückerform? Geben Sie weiter eine Parameterdarstellung von g an.

Question

Sei eine Gerade gegeben durch die Vorschrift

\( g:\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \)

Ist dies eine Plückerform? Begründen Sie Ihre Antwort.

Geben Sie weiter eine Parameterdarstellung von \( g \) an.

Wie man aus 2 Punkten eine Plückerform angibt, verstehe ich. Nur hier finde ich keinen Ansatz.

Comments

Hast du in deinen Unterlagen eine Definition von Plückerform?

In der Wikipedia finde ich nur https://en.wikipedia.org/wiki/Pl%C3%BCcker_formula 

und https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Pl%C3%BCcker und https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9F%D0%BB%D1%8E%D0%BA%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%B0 in versch. Sprachen. 

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http://www.emath.de/Referate/Zusammenfassung-wichtiger-Formeln.pdf

Seite 31

Answer 1

Hallo,

eine Plückerform hat die Gestalt \(g: \, \vec{x}\times \vec{v}=\vec{w}\). Dabei muss \(\vec{v}\neq \vec{0}\) und \(\langle \vec{v},\vec{w}\rangle =0\) gelten. Berechne also das Kreuzprodukt:$$\begin{pmatrix} -1\\1\\-1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\2\\-3 \end{pmatrix}$$ Die Vektoren sind, wie zu erwarten, orthogonal und es handelt sich in der Tat um eine Pflückerform. Die Parameterdarstellung erhält man durch Lösen von:$$\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3x_2-2x_3\\-3x_1+x_3\\2x_1-x_2 \end{pmatrix}\overset{!}=\begin{pmatrix} 5\\2\\-3 \end{pmatrix}$$