orthogonale Matrix und Diagonalmatrix bestimmen, so dass S^T*A*S=D

Question

wie geht man hier vor, um die zwei Matrizen S und D zu kriegen? Also bei den Teilaufgaben davor muss man Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen und aus den Eigenvektoren eine Orhonormalbasis des R³ bilden. Das habe ich noch nicht gemacht, kann ich aber selbstständig lösen. Ein paar Hinweise zu dieser Teilaufgabe wären sehr nett, danke!

\( A=\left(\begin{array}{rrrr}{4} & {-1} & {-1} & {1} \\ {-1} & {4} & {1} & {-1} \\ {-1} & {1} & {4} & {-1} \\ {1} & {-1} & {-1} & {4}\end{array}\right) \) 

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Also wie ich die Diagonalmatrix erhalte weiß ich, man muss ja einfach nur die Eigenwerte auf die Diagonalen schreiben. Mein Problem ist nur wie ich an die orthogonale Matrix komme, die dann auch die Gleichung S^T*A+S=D erfüllt.

Answer 1

das ist die Matrix aus den Eigenvektoren bzw. Eigenräumen.

Grüße,

M.B.

Comments

Muss man die Eigenvektoren bzw. die Basis der Eigenvektoren auch noch ortho normalisieren oder orthogonalisieren? Oder einfach eine Basis der Eigenvektoren nehmen? In unserem Skript steht nämlich das bei symmetrischen Matrizen die Transformationsmatrix aus orthonormalisierten Vektoren bestehen muss. Muss das hier nicht auch der Fall sein, da die Matrix ja symmetrisch ist?

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ohne Gewähr:

Für diagonaisierbare Matrizen \(A\) kannst Du \( A = S_1^{-1}D_1S_1 \).

Für symmetrische Matrizen geht \( A = S_2^TD_2S_2 \)

Für symmetrische diagonalisierbare geht dann beides \( S = S_1 = S_2 \), damit \( S^{-1} = S^T \). Das ist aber das Kriterium für orthogonal.

D.h. Deine Matrix aus Eigenvektoren ist bereits orthogonal, und da mit \( u \) Eigenvektor auch jedes Vielfache ein Eigenvektor, kannst Du problemlos normalisieren.

Grüße,

M.B.

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Ok eine letzte Frage noch.

Du schreibst ja "für symmetrische diagonalisierbare Matrizen"...

Woher weiß man denn das die Matrix hier diagonalisierbar ist?

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probiere es aus.

Grüße,

M.B.