Aufgabe 6 . h(x) = a sin(b*x) und f(x) = e^{-x} * x^2 haben im 1. Quadranten gleiches Maximum.

Question

Kann mir jemand die Nr.6 vorrechnen? Wäre echt toll & dazu erklären warum es so gemacht wurde? Danke

Answer 1

Hallo Niki,

Wenn man nur die Aufgabe 6 rechnet ohne die vorherigen, sollte zunächst der Ort des Maximum von \(f(x)\) bestimmt werde. Dazu wird \(f(x)\) abgeleitet (Produktregel) und zu 0 gesetzt. $$f(x)=e^{-x}\cdot x^2 \quad \Rightarrow f\prime(x)=-e^{-x}\cdot x^2+2e^{-x}\cdot x=x\cdot e^{-x}(2-x)$$ Hier gibt es Nullstellen bei \(x_1=0\) und \(x_2=2\). Die zweite Ableitung ist $$f\prime \prime (x)=e^{-x}(2-x)+x\cdot\left( -e^{-x}(2-x) - e^{-x} \right)=e^{-x}(x^2-4x+2)$$ ... und nur \(f\prime\prime(2)\) ist kleiner 0 und damit ein Maximum. Folglich liegt das angestrebte Maximum bei $$(2|4e^{-2})$$

Nun zum eigentlichen Kern von Aufgabe 6. Ableiten von \(h(x)\) (Kettenregel) ergibt die Stelle des Maximums \(x_M\): $$h(x)=a\cdot \sin{(b \cdot x)} \quad \Rightarrow h\prime(x)=ab\cdot\cos{(b \cdot x)}$$ $$h\prime(x_M)=ab\cdot\cos{(b \cdot x_M)}=0 \quad \Rightarrow b \cdot x_M=\frac{\pi}{2} \Rightarrow x_M=\frac{\pi}{2b}$$ Laut Aufgabenstellung soll der Wert von \(x_M\) gleich dem X-Wert des Maximums von \(f(x)\) - also gleich 2 - sein. $$x_M=\frac{\pi}{2b}=2 \quad \Rightarrow b=\frac{\pi}{4}$$ Dasselbe gilt für den Funktionswert \(f(x_M)=h(x_m)\) $$h(x_M)=a\cdot \sin{(b\cdot x_M)}=a\cdot \sin{(\frac{\pi}{4}\cdot 2)}=f(x_M)=4e^{-2}$$ $$\Rightarrow a=4e^{-x} \quad \text{da} \quad \sin\frac{\pi}{2}=1$$ Vollständig wäre die Aufgabe gelöst, wenn noch gezeigt wird, dass \(h\prime\prime\) an der Stelle \(x_M\) kleiner 0 ist, um sicher zu stellen, dass auch \(h(x)\) bei \(x_M\) ein Maximum hat.

Gruß Werner

Answer 2

Die normale Sinusfunktion wirst du ja kennen, ich habe sie aber zusammen mit der Funktion 2*sin(x) und sin(2*x) nochmal eingezeichnet:

~plot~ sin(x);2*sin(x);sin(2*x);x=pi;x=pi/2 ~plot~

Die normale Sinusfunktion hat ihren ersten Hochpunkt im ersten Quadranten bei (π/2, 1). Das a verändert die Amplitude, also den y Wert des Hochpunktes.

Das b verändert die Periode der Funktion, was zu einer Stauchung in x Richtung führt und damit die x-Koordinate des ersten Hochpunktes beeinflusst, wobei der Zusammehang zwischen Periode P und dem Parameter b so aussieht: P=2π/b. Die Sinusfunktion erreicht ihren ersten Hochpunkt nach einem Viertel ihrer Periode (normalerweise bei 1/4*2π=π/2).

Wenn also der Hochpunkt von f im ersten Quadranten bei (x₀,y₀) liegt, so muss a=y₀ sein und \(x_0=\frac{1}{4}\cdot\frac{2\pi}{b}\Rightarrow b=\frac{\pi}{2x_0}\).