Sei (a_n) eien Folge positiver Zahlen die monotan wachsend + beschränkt ist beweisen Sie, dass die Reihe konvergent ist

Question

Sei (a_n) eine Folge positiver Zahlen die monotan wachsend + beschränkt ist beweisen Sie, dass die Reihe konvergent ist:

$$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } - 1} $$

(Hinweis: Zeigen Sie, dass die Folge der Partialsummen bschränkt ist)

Meine Idee sieht so aus:

$$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } - 1} = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac { { a }_{ n+1 } -  { a }_{ n }}{ { a }_{ n } }} \\ \\{ s }_{ n }=\sum_{i=1}^{n}{\frac { { a }_{ n+1 } -  { a }_{ n }}{ { a }_{ n } } } \\ |{ a }_{ n+1 } -  { a }_{ n } + a - a | \leq  |{ a }_{ n+1 } - a| - |{ a }_{ n } - a| = |({ a }_{ n+1 } - { a }_{ n }) - 0 | $$

eigentlich steht ja schon da dass s_n eine nullfolge ist mit  $$|({ a }_{ n+1 } - { a }_{ n }) - 0 | $$

und im nenner ist a_n > 0

doch da habe ich gleich den grenzwert benutzt...ich sollte ja nur sagen dass s_n beschränkt ist wie löst man diese aufgabe? danke

Answer 1

\(s_n\) ist sicherlich keine Nullfolge. Du hast auch noch gar nichts gezeigt, außer dass $$\lim_{n \to \infty} a_{n+1}-a_n = 0 $$ was eigentlich klar ist, da \(a_n\) eine konvergente Folge ist.

Wenn du zeigst, dass \(s_n\) monoton wachsend und beschränkt ist, so hast du gezeigt, dass die Folge der Partialsummen konvergiert und somit auch die Reihe konvergent ist.

Hinweis: Hier gilt \( \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \leq \dfrac{a_{n+1}}{a_1} \) für alle \( n \geq 1\).

Gruß,

Comments

danke. also soll ich dann zeigen dass s_n eine cauchyfolge ist wenn es kein nullfolge ist? warum ist es keine nullfolge ich kann es mir irgendwie nicht vorstellen :( wenn der abstand zwischen a_n+1 und a_n immer kleiner wird dann ist es doch fast 1 und minus 1 null oder nicht?

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\(s_n \) ist nicht gleich \(a_{n+1} - a_n\), wie kommst du darauf?
Es ist keine Nullfolge, weil die Partialsummen nicht gegen 0 gehen.
Ich glaube du vertauscht hier die Folge der Partialsummen mit der Folge der Summanden der Reihe.

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umformung: (a_n+1 / a_n) - (a_n / a_n)

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Das ist nur die Umformung der Summanden von \(s_n\) nicht die Summe selbst!

\(s_n = (\frac{a_2}{a_1}-1) + (\frac{a_3}{a_2} -1 ) + \ldots + (\frac{a_{n+1}}{a_n} -1) \).

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ok aber ist das nicht dasselbe wie $$ { s }_{ n }=\sum _{ i=1 }^{ n }{ \frac { { a }_{ n+1 }-{ a }_{ n } }{ { a }_{ n } } } $$

?

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Ja ist es, aber mach dir bitte klar, dass

$$ \sum_{i=1}^n \dfrac{a_{n+1}-a_n}{a_n} \neq a_{n+1} - a_n $$

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das habe ich verstanden. ich dachte ich könnte den limes im zähler und nenner einzeln bilden dann würde ja schon eine nullfolge entstehen kannst du mir das erklären warum das nicht geht?

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1. Dass die Folge der Summanden einer Reihe eine Nullfolge ist, ist eine notwendige Bedingung für die Konvergenz aber lange keine hinreichende. Du solltest genügend Gegenbeispiele kennen.

2. Musst du beim Nachweis, dass die Summandenfolge eine Nullfolge ist schon die ganze Folge betrachten und "nicht nur den Zähler". In diesem Fall würde das zwar funktionieren aber du musst zumindest eine vernünftige Argumentation dafür bringen warum es in diesem Fall ausreicht den Zähler zu betrachten.

3. Du damit keinen Schritt weiter kommst, weil durch die Konvergenz der Folge \(a_n\) (hier eine Voraussetzung), schon ohnehin klar ist, dass die Summandenfolge der betrachteten Reihe eine Nullfolge ist.

Kurz: Es geht (in diesem konkreten Fall), wenn man es richtig macht, bringt dich aber nicht zum Ziel sondern wiederholt nur etwas das ohnehin klar sein sollte.

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ok. aber wie soll ich monoton wachsend zeigen wenn doch  $$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \leq \dfrac{a_{n+1}}{a_1} $$

?

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Das sollte ein Hinweis zur Beschränktheit sein, ist aber auch kein Widerspruch zur Monotonie. Für monoton wachsend, zeige einfach, dass

$$ s_n \leq s_{n+1} $$

In einer Reihe mit nur positiven Summanden ist die Folge der Partialsummen immer monoton wachsend.

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muss jetzt zeigen dass die partialsummenteilfolge $$ \dfrac{a_{n+1}}{a_1}$$ beschränkt ist ?

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Du musst zeigen, dass \(s_n\) beschränkt ist. Mit dem Hinweis kannst du abschätzen, dass

$$ s_n \leq \sum_{n=1}^n \frac{a_{n+1}-a_n}{a_1} = \frac{a_{n+1}}{a_1} - 1 \leq \frac{a}{a_1} -1 $$

wobei

$$ a:= \lim_{n \to \infty} a_n $$

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soll das bedeuten dass bei der partialsummenteilfolge

$$ \frac{a}{a_1} -1 $$

das summenzeichen wegfällt und mit n* ersetzt werden kann? dann ist die teilfolge doch aber unbeschränkt für n gegen unendlich?

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Nein.

Die Folge der Partialsummen wurde nachoben durch eine Teleskopsumme abgeschätzt. Diese wurde berechnet und ebenfalls nach oben abgeschätzt. Der letzte Term ist somit eine obere Schranke für die Folge der Partialsummen.

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ich habe noch eine frage: wenn ich 
$$ \sum _{ n\quad =\quad 1 }^{ \infty  }{ \left( \frac { { a }_{ n\quad +\quad 1 }\quad -\quad { a }_{ n } }{ { a }_{ 1 } }  \right)  } \quad =\quad \underset { k\quad \rightarrow \quad \infty  }{ lim } \sum _{ n\quad =\quad 1 }^{ k }{ \left( \frac { { a }_{ n\quad +\quad 1 }\quad -\quad { a }_{ n } }{ { a }_{ 1 } }  \right)  } \\ =\quad \underset { k\quad \rightarrow \quad \infty  }{ lim } \quad \left( \frac { { a }_{ n\quad +\quad 1 }\quad -\quad { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 1 } }  \right) \quad \\ =\quad \underset { k\quad \rightarrow \quad \infty  }{ lim } \quad \quad \frac { { a }_{ k\quad +\quad 1 } }{ { a }_{ 1 } } \quad -\quad \underset { k\quad \rightarrow \quad \infty  }{ lim } \quad \frac { { a }_{ 1 } }{ { a }_{ 1 } } \\ =\quad \frac { a }{ { a }_{ 1 } } \quad -\quad 1 $$

schreibe muss ich dann

$$\sum _{ n\quad =\quad 1 }^{ \infty  }{ \frac { { a }_{ n\quad +\quad 1 }\quad -\quad { a }_{ n } }{ { a }_{ n } }  } \quad \le \quad \sum _{ n\quad =\quad 1 }^{ \infty  }{ \frac { { a }_{ n\quad +\quad 1 }\quad -\quad { a }_{ n } }{ { a }_{ 1 } }  } $$

die rechte seite als Majorante bezeichen?

und kann ich $$ \sum _{ n\quad =\quad 1 }^{ \infty  }{ \left( \frac { { a }_{ n\quad +\quad 1 }\quad -\quad { a }_{ n } }{ { a }_{ 1 } }  \right)  }  $$

teleskopreihe nennen auch wenn im nenner noch a_1 vorkommt? danke! : )

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und ist das richtig dass $$\sum _{ n\quad =\quad 1 }^{ k }{ \left( \frac { { a }_{ n\quad +\quad 1 }\quad -\quad { a }_{ n } }{ { a }_{ 1 } }  \right)  }  $$

die Partialsummenfolge ist und beschränkt ist durch : $$\frac { { a }_{ n\quad +\quad 1 } }{ { a }_{ 1 } } \quad -\quad 1 $$

oder muss ich dass Partialsummenteilfolge nennen wegen der abschätzung im nenner a_1 ?

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ich wollte es teleskopreihe nennen um dann zu sagen wenn (a_n) konvergent ist, dann ist die teleskopreihe konvergent.