1. Dass die Folge der Summanden einer Reihe eine Nullfolge ist, ist eine notwendige Bedingung für die Konvergenz aber lange keine hinreichende. Du solltest genügend Gegenbeispiele kennen.
2. Musst du beim Nachweis, dass die Summandenfolge eine Nullfolge ist schon die ganze Folge betrachten und "nicht nur den Zähler". In diesem Fall würde das zwar funktionieren aber du musst zumindest eine vernünftige Argumentation dafür bringen warum es in diesem Fall ausreicht den Zähler zu betrachten.
3. Du damit keinen Schritt weiter kommst, weil durch die Konvergenz der Folge \(a_n\) (hier eine Voraussetzung), schon ohnehin klar ist, dass die Summandenfolge der betrachteten Reihe eine Nullfolge ist.
Kurz: Es geht (in diesem konkreten Fall), wenn man es richtig macht, bringt dich aber nicht zum Ziel sondern wiederholt nur etwas das ohnehin klar sein sollte.