\(p\) ist unten waagrecht links, \(q\) ist unten waagrecht rechts,so dass \(BE = p+q\).
Damit:
$$ {h \over a} = {q \over p+q} \quad | \cdot ab $$
$$ {h \over b} = {q \over p+q} \quad | \cdot ab $$
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$$ hb = {qab \over p+q} $$
$$ ha = {qab \over p+q} $$
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$$ hb+ha = {qab \over p+q}+{qab \over p+q} $$
$$ hb+ha = ab \cdot \left( {q \over p+q}+{q \over p+q} \right) $$
$$ h \left( b+a \right) = ab $$
$$ h = {ab \over a+b} $$
$$ {1\over h} = {1\over a}+{1\over b} $$
Die letzte Zeile ergibt die Formel für das harmonische Mittel.
Grüße,
M.B.
