Grenzwert von (x^n-1)/(x-1)?

Question

wie berechne ich den Grenzwert

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{n}-1}{x-1} \) 

n ist ganzzahlig, n ist ungleich 0

Frank

Answer 1

lim (x --> 1) (x^n - 1)/(x - 1)

l'hospital

lim (x --> 1) (n·x^{n - 1})/1 = n

Comments

Frank konnte vielleicht nicht wissen, dass die "richtige" Antwort ganz entscheidend von den Voraussetzungen abhängt.

Man könnte auch einfach den gesuchten Grenzwert mit der Ableitung der Funktion f mit f(x) = x^n  an der Stelle x₀ = 1 identifizieren und direkt n·1^n-1 = n  hinschreiben, wenn die Aufgabe nicht etwa ein Teil der Herleitung eben genau dieser Differentiationsregel (die du ja auch benutzt) ist.

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Hallo Der_Mathecoach + Gast hj2166,

ein globales Dankeschön bringe ich hier gar nicht unter, also mach ich es einzeln.

Vielen Dank für die prompte Hilfe und das schnelle und kompetente Feedback.

Weihnachtliche Grüße

Frank

Answer 2

x^n-1=(x-1)*∑k=0 bis n-1      x^{n-k-1}

Die Summe hat also n Summanden, gibt im Grenzwert dann n*1=n ,(x-1) kürzt sich.

Comments

Hallo Gast jc2144,

Dir ebenfalls vielen Dank für die prompte Hilfe und das schnelle und kompetente Feedback.

Die Lösung über l'hospital habe ich verstanden.
Aber nach welchem Thema/Stichwort muss ich suchen, um die von Dir angedachte Lösung nachzuvollziehen?

Weihnachtliche Grüße

Frank

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Hi,

der Term x^n-1 hat für alle n ∈ ℤ (n≠0) eine Nullstelle bei x=1

Also kann man eine Faktorisierung des Terms durchführen, damit sich diese Nullstelle mit dem Nenner wegkürzt und der Grenzwert normal bestimmt werden kann.

Wenn du die verwendete Faktorisierung nicht gleich erkennst, kannst du zuerst ein paar Beispiele  wie

x^2-1=(x-1)(x+1)

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)

x^{-1}-1=(x-1)(-x^{-1})

x^{-2}-1=(x-1)(-x^{-1}-x^{-2})

überlegen.

Dass sollte man auch machen, damit einen auffällt, dass obige Formel nur für positive n gilt.

Für negative ganzzahlige n gilt dann

x^n-1=(x-1)∑_k=n^-1 (-x^n-k-1)

Man erkennt es relativ leicht an der Struktur der obigen Beispiele.

Beweisen kann man es mit vollständiger Induktion.

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Stichwort Polynomdivision.

Probier es selber mal für

(x^2 - 1) / (x - 1) =

(x^3 - 1) / (x - 1) = 

(x^4 - 1) / (x - 1) = 

(x^5 - 1) / (x - 1) = 

Ich denke jetzt kannst du den Zusammenhang erkennen.

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Euch beiden herzlichen Dank.

Frank