Bestimme den Parameter a so, dass F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist?

Question

Hey:)

Aufgabenstellung:

Bestimmen sie den Parameter a so, dass

F(x)= (ax+4)*e^-2x eine Stammfunktion von

f(x)= (6x-11)*e^-2x ist.

Mein Lösungsansatz

Ableitung von F(x) bestimmen, Ergebnis mit f(x) gleichsetzen und nach a auflösen:

F(x)= (ax+4)*e^-2x

F(x)= axe^-2x  + 4e^-2x  ...Produktregel

F'(x)=  (a * e^-2x  + ax * -2e^-2x )*-8e^-2x

        = ae^-2x  -2axe^-2x -8e^-2x  

           F'(x)=f(x)

       ae^-2x -2axe^-2x -8e^-2x = (6x -11)e^-2x

Und ab hier komme ich nicht mehr weiter, da ich immer beim auflösen etwas falsch mache, denn wenn ich das, was bei rauskommt, in die Ursprungsfunktion F(x) einsetze, kommt am Ende etwas anderes raus, wenn ich es dann wieder ableite.

Dankeschön :3

  

Answer 1

F(x)= (ax+4)*e^-2x 

Die Produktregel
( u * v ) ´ = u´ * v + u * v´

u = a * x + 4
u  ´ = a

v = e^{-2x}
v ´=  e^{-2x} * (-2)

F ( x ) ´ = ( u * v ) ´ = u´ * v + u * v´
(ax+4)*e^-2x  = a *  e^{-2x} +  (ax+4) *  e^{-2x} * (-2)
( ax+4 )*e^-2x  = a * e^{-2x} - 2 * (ax+4) *  e^{-2x}

a * e^{-2x} - 2 * (ax+4) *  e^{-2x} = (6x-11)*e^-2x
e^{-2x} * [ a - 2 * (ax+4) ] = (6x-11) * e^-2x

a - 2ax - 8 = 6x - 11
a * ( 1 - 2x ) = 6x - 3 = 3 * ( 2x  - 1 ) =  -3 * ( 1 - 2 x)
a = -3

Probe stimmt.

Comments

Dankesehr, jetzt habe ich auch meinen Fehler gefunden :)

Answer 2

Du rechnest:

F(x)= (ax+4)*e^-2x 

F(x)= axe^-2x  + 4e^-2x  ...Produktregel

F'(x)=  (a * e^-2x  + ax * -2e^-2x )*-8e^-2x

Da ist leider ein Fehler drin. Du hast in der zweiten zeile ein Summe,  beim ableiten kriegst du deshalb:

F'(x)=  (a * e^-2x  + ax * -2e^-2x ) - 8e^-2x