Anzahl der Lösungen eines Gleichungssystems mit erweiterter Matrix: ( (a , 1 | 0), (0, a-1 | a) )

Question

Aufgabe:

(a) Bestimmen Sie das Inverse der folgenden Matrix so wie in Satz 4.3.10 aus dem Kurzskript beschrieben. Eine ausführlichere Anleitung gibt es z. B. unter https://de. wikipedia.org/wiki/Inverse_Natrixaverfahren
$$ \left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right) $$

(Sie brauchen nicht zu begrinden, dass dieses Verfahren funktioniert.)

(b) Bringen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in Normalform und geben Sie dann die Lösungsmenge an:

$$ \begin{array}{r} x_{2}-2 x_{3} \quad=1 \\ 2 x_{1}+x_{2} \quad+x_{4}=2 \\ x_{1} \quad+x_{3}+2 x_{4}=2 \end{array} $$

(c) Für welche reelle Zahlen \( a \) hat das Gleichungssystem mit der folgenden erweiterten Matrix keine Lösung, für welche eine Lösung und für welche unendlich viele Läsungen?

$$ \left(\begin{array}{ll} a & 1 \\ 0 & a-1 \end{array} \bigg \rvert \begin{array}{l} 0 \\ a \end{array}\right) $$

Satz 4.3.10 aus dem Kurzskript habe ich. Aber ich brauche c) Mit a und b bin ich fertig.

Answer 1

M = ( A | b) =

⎡ a       1      |   0 ⎤

⎣ 0    a - 1   |    a ⎦

genau eine Lösung, wenn die Determinante von A ≠ 0  (Rang(A)  = 2)  ist:

det (A) = a * (a-1) - 0 * 1 = a * (a-1)  ≠ 0  ⇔  a ∉ { 0 ; 1 }

Für a = 0  ist Rang(A) = 1  und Rang(M)  = 1   →  mehrere Lösungen

Für a = 1  ist Rang(A) = 1   und Rang(M)  = 2  →  keine Lösung

Gruß Wolfgang

Comments

Sitze auch gerade an dieser Aufgabe wie beweist man das? Und woher kommt Rang (A) und Rang (M)?

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Hier findest du die Infos, die du brauchst: https://www.matheretter.de/wiki/matrizen