Rang und Lösbarkeit: Aussage: A X = B ist genau dann lösbar, wenn rg(A) = rg(A | B) beweisen?

Question

Hallo,ich komme irgendwie bei den folgenden Beweisen nicht wirklich weiter

Es gelte das \( A \in K^{m \times n} \) und \( B \in K^{m \times k} . \) Zeige nun, dass \( A X=B \) genau dann lösbar ist, wenn \( \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A | B) \) ist.

Es gelte \( A \in K^{m x n} \) mit \( \operatorname{rg}(A)<n . \) Zeige nun, dass es für alle \( k \in \mathbb{N} \) eine Matrix \( X \in K^{n \times k} \) \( X \neq 0, \) gibt mit \( A X=0 \)

Habt ihr Tipps, wie ich da heran gehen könnte?

Answer 1

rg(A) ist die Dimension des von den Spalten von A erzeugten Vektorraumes.

Betrachte die i-te Spalte von B, sie sei b_i, das ist ein Element aus K^m

und es gibt ein x = (x1,..,xn)^T aus K^n mit

A*x=b_i genau dann, wenn das bi im Erzeugnis der Spalten von A liegt,

also   A | b_i den gleichen Rang hat wie A.

Diese Überlegung gilt für alle Spalten von B . q.e.d.