Wenn Ax=b lösbar ist, dann auch (A^T)Ax = (A^T)b

Question

Hallo, ich weiß nicht was ich bei folgender Aufgabe machen soll und wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte.

Sei A ∈ ℝ^MxN und b ∈ ℝ^M . Zeigen Sie:

Ax = b ist lösbar → A^TAx = A^Tb ist lösbar

und die beiden Lösungsmengen stimmen überein.

Hinweis: Führen Sie das Problem auf die zugehörigen homogenen Gleichungssysteme zurück.

Danke im voraus

Answer 1

Ax = b ist lösbar

==>    Ax = Eb ist lösbar (E = Einheitsmatrix)

==>    Ax - Eb = 0      ist lösbar

==>  A^T *(  Ax - Eb ) =  A^T 0     ist lösbar

==>  A^T *(  Ax - Eb ) = 0  ist lösbar

==>  A^T  Ax - A^T Eb = 0  ist lösbar

==>  A^T Ax - A^T b = 0  ist lösbar

==>   A^T Ax = A^T b ist lösbar

Comments

OK. Diese Richtung ist ja eigentlich trivial.

Aber warum sind die Lösungsmengen gleich?

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Hallo,

die Lösungsmengen sind dann gleich, weil die Kerne gleich sind:

1. \(Ax=0 \Rightarrow A^TAx=0\)

2. \(A^TAx=0 \Rightarrow  0=\langle A^TAx,x \rangle= \langle Ax,Ax\rangle \Rightarrow Ax=0\)

Gruß Mathhilf

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Danke :-)
Über den Adjungiertheitszusammenhang zu gehen
ist mir nicht eingefallen.

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Gern und einen schönen Sonntag - lieber mit oder lieber ohne mathematische Probleme? ;-)

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Durchaus gerne mit mathematischen Problemen.
Auch dir einen schönen vierten Advent !