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Hallo, ich weiß nicht was ich bei folgender Aufgabe machen soll und wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte.


Sei A ∈ ℝMxN und b ∈ ℝM . Zeigen Sie:

Ax = b ist lösbar → ATAx = ATb ist lösbar

und die beiden Lösungsmengen stimmen überein.

Hinweis: Führen Sie das Problem auf die zugehörigen homogenen Gleichungssysteme zurück.


Danke im voraus

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Ax = b ist lösbar

==>    Ax = Eb ist lösbar (E = Einheitsmatrix)

==>    Ax - Eb = 0      ist lösbar

==>  AT *(  Ax - Eb ) =  AT 0     ist lösbar

==>  AT *(  Ax - Eb ) = 0  ist lösbar

==>  AT  Ax - AT Eb = 0  ist lösbar

==>  AT Ax - AT b = 0  ist lösbar

==>   AT Ax = AT b ist lösbar

Avatar von 289 k 🚀

OK. Diese Richtung ist ja eigentlich trivial.

Aber warum sind die Lösungsmengen gleich?

Hallo,

die Lösungsmengen sind dann gleich, weil die Kerne gleich sind:

1. Ax=0ATAx=0Ax=0 \Rightarrow A^TAx=0

2. ATAx=00=ATAx,x=Ax,AxAx=0A^TAx=0 \Rightarrow 0=\langle A^TAx,x \rangle= \langle Ax,Ax\rangle \Rightarrow Ax=0

Gruß Mathhilf

Danke :-)
Über den Adjungiertheitszusammenhang zu gehen
ist mir nicht eingefallen.

Gern und einen schönen Sonntag - lieber mit oder lieber ohne mathematische Probleme? ;-)

Durchaus gerne mit mathematischen Problemen.
Auch dir einen schönen vierten Advent !

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