Muss eine Matrix regulär sein, damit GS Ax=b eindeutig lösbar ist?

Question

Aufgabe:

Muss eine Matrix regulär sein, damit GS Ax=b eindeutig lösbar ist?

Answer 1

Nein. Beispiel: \(A = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\\1&1 \end{pmatrix}\), \(b = \begin{pmatrix} 2\\3\\5 \end{pmatrix}\).

Wenn die Matrix quadratisch ist, dann muss sie regulär sein damit Ax = b eindeutig lösbar ist.

Answer 2

Aloha :)

Eine reguläre Matrix ist eine quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt. Ist \(A\) regulär, dann gibt es genau eine Lösung für ein Gleichungssystem \(Ax=b\), nämlich \(x=A^{-1}b\).

Die Umkehrung gilt aber nicht. Es gibt also eindeutig lösbare Gleichungssysteme \(Ax=b\), wo \(A\) keine reguläre Matrix ist.

Comments

könntest du vlt eine Beispiel Matrix geben bitte ?

Answer 3

Die Begriffe Regulär und Singulär sind nur für quadratische Matrizen definiert. Wenn eine quadratische Matrix regulär (also invertierbar) ist, dann ist für jeden Vektor b die Gleichung A*x=b eindeutig lösbar. Man kann die eindeutige Lösung angeben als x = A^-1*b, wobei in der Praxis ohne Hilfsmittel die Lösung eines LGS mit dem Gaußverfahren deutlich schneller ist als die Berechnung der inversen Matrix. Umgekehrt reicht es schon, wenn für b=0 die Gleichung A*x=0 eindeutig lösbar ist (und zwar ist die Lösung natürlich der Nullvektor). Dann ist die Dimension des Kerns 0, und der Rang ist maximal, also ist dann die Matrix regulär.