Zeigen Sie, dass das LGS eindeutig lösbar ist

Question

Aufgabe:

Sei \( A \in \mathbb{R}^{M \times N} \) mit \( M \geq N \)

Sei \( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^{M} \). Wir betrachten das überbestimmte LGS \( A \mathbf{x}=\mathbf{b} \), wobei \( A \) wieder maximalen Rang besitze. Zeigen Sie, dass das LGS

\(A \mathbf{x}=A\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top} \mathbf{b}\)

eindeutig lösbar ist und drücken Sie die Lösung durch \( A \) und \( A^{\top} \) aus.

Hallo ihr Lieben! Habe hier die eine kleine Aufgabe, mit der ich nicht wirlkich zurecht komme. Es wäre mega schön, falls mir da jemand helfen könnte :) Danke im voraus :)

Answer 1

\(A \mathbf{x}=A\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top} \mathbf{b}   | \cdot A^{\top}  \) von links

==> \( (A^{\top} A ) \mathbf{x}= (A^{\top} A)\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top} \mathbf{b}    \)

==> \( (A^{\top} A ) \mathbf{x}=  A^{\top} \mathbf{b}    \)

Und weil \( (A^{\top} A ) \) invertierbar ist folgt

\( \mathbf{x}= (A^{\top} A ) ^{-1} A^{\top} \mathbf{b}    \)

Comments

Das beantwortet die Existenz einer Lösung, aber nicht die Eindeutigkeit.

Answer 2

Die Existenz einer Lösung wurde ja schon gezeigt. Da \( A \) maximalen Rang besitzt ist die Matrix injektiv und damit die Lösung eindeutig.