Für welches t ist das Gleichungssystem nicht lösbar

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das LGS:

x          z = t

x  -ty     = 1

tx       +z =0

Für welches t ist das LGS nicht lösbar?

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe rausbekommen für t=0 und t=1

da ich am ende stehen habe, 1-t = -t²

Stimmt das so? Da ja t für 1 gleich null wird und damit 0=1 → falsche Aussage

und t=0 bekomme ich 1=0.

Aber wenn ich das über die abc-Formel mache, kommt bei mir unter der Wurzel ein negativer Betrag.

Kann mir einer sagen wieso und auch ob ich überhaupt richtig liege mit meiner Rechnung?

Comments

x         z = t
x -ty   = 1
tx     +z =0

wie soll dein Gleichungssystem lauten

z = t
x - t * y = 1
t * x + z = 0

Answer 1

Aloha :)

In Matrix-Schreibweise lautet das Gleichungssystem:$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & -t & 0\\t & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}t\\1\\0\end{array}\right)$$Die Determinante der Koeffizientematrix kann man schnell berechnen:$$\operatorname{det}(A)=-t-(-t^2)=t^2-t=t(t-1)$$Für \(t\ne0\) und \(t\ne1\) ist Determinante \(\ne0\) und die Matrix daher invertierbar, sodass das Gleichungssystem genau eine Lösung hat.

Für \(t=0\) lautet das Gleichungssystem:$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0\\1\\0\end{array}\right)$$und wir lesen als Gleichungen ab:$$x+z=0\quad;\quad x=1\quad;\quad z=0$$Diese können offensichtlich nicht alle gemeinsam erfüllt sein, denn \(x+z=1\ne0\). Daher hat das Gleichungssystem für \(t=0\) keine Lösung.

Für \(t=1\) lautet das Gleichungssystem:$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & -1 & 0\\1 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1\\1\\0\end{array}\right)$$Die erste und die dritte Zeile liefern zwei widersprüchliche Gleichungen:$$x+z=1\quad;\quad x+z=0$$Diese können offensichtlich nicht beide gemeinsam erfüllt sein. Daher hat das Gleichungssystem für \(t=1\) auch keine Lösung.

Comments

Vielen Dank. Ich hatte gestern keine Zeit mehr reinzuschauen. Sehr ausführliche Erklärung. Danke. :))