Sei \( K \) ein Körper. Seien \( m, n \in \mathbb{N} \), und \( a_{i j}, b_{i} \in K \) für \( 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \). Wir betrachten das lineare Gleichungssystem
\( \begin{array}{ccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \ldots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \ldots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ \vdots & & \vdots & & & & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \ldots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array} \)
und definieren dazu Spaltenvektoren \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) und \( b \) wie folgt:
\( v_{i}=\left|\begin{array}{c} a_{1 i} \\ a_{2 i} \\ \vdots \\ a_{m i} \end{array}\right| \in K^{m} \text { für } i \in\{1, \ldots, n\} \text { und } b=\left|\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{array}\right| \in K^{m} . \)
Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) Das Gleichungssystem \( (*) \) ist lösbar.
(ii) \( \operatorname{Rang}\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)=\operatorname{Rang}\left(v_{1}, \ldots, v_{n}, b\right) \).
(iii) \( b \in\left\langle v_{1}, \ldots, v_{n}\right\rangle \).
Hinweis. Es genügt, zu zeigen: (i) \( \Leftrightarrow \) (iii), (iii) \( \Rightarrow \) (ii) und (ii) \( \Rightarrow \) (iii).
Bitte wenden!
