Differentialrechnung - Bewegung eines frei fallenden Körpers

Question

 Hallo.

Eine Frage zum Thema Differentialrechnung.

Also als erste würde ich nach t ableiten.

Aber ich verstehe nicht ganz, was der unterschied zwischen der mittleren Geschwindigkeit und er momentanen Geschwindigkeit ist

Danke :-)

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Hier mal die Aufgabenstellung mit etwas stärkerer Betonung der Satzstruktur:

 

Bestimme

(a) die mittlere Geschwindigkeit,

(b) die momentane Geschwindigkeit nach zwei Sekunden freien Falls,

wenn er aus einer Höhe \(h_0=20 \text{ m}\) fallen gelassen wird.

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So sehe ich das auch. Die 2sek beziehen sich hier nur auf aufgabenteil b).

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Eben und das ist meiner Meinung nach auch die einzige Möglichkeit, wie die Aufgabenstellung gedeutet werden muss. Mithin sind einige Antworten hier nur sehr eingeschränkt zu gebrauchen!

Answer 1

Es geht um 2 Sekunden Fall.

h(t) = -1/2·g·t^2 + h0

v(t) = -g·t

a)

v = (h(2) - h(0)) / (2 - 0) = -9.81 m/s

b)

v = h'(2) = -19.62 m/s

Comments

Danke Mathecoach für die Antwort,

habe ich das richtig verstanden,

du leitest die erste Formel h(t) = -1/2·g·t² + h0, nach t ab, da du ja 2 Sekunden gegeben hast oder.

und dann setzt du für die momentane Geschwindigkeit einfach 2 für t ein.

Könntest du mir bitte noch erklären wie du auf die mittlere Geschwindigkeit kommst das versteh ich irgendwie noch nicht ganz.

ich nehmen an du rechnest mit der Formel Δy/Δx = f(x0 +h) -f(x0) / h

Rellis

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Könntest du mir bitte noch erklären wie du auf die mittlere Geschwindigkeit kommst das versteh ich irgendwie noch nicht ganz.

ich nehmen an du rechnest mit der Formel Δy/Δx = f(x0 +h) -f(x0) / h

Ja. Das kannst du auch als Formel nehmen Grundsätzlich nehme ich da:

Δy/Δx = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Das ist deine Formel für a = x0 und b = x0 + h.

v = (h(2) - h(0)) / (2 - 0) = -9.81 m/s

Also h(2) und h(0) bestimmen und in die Formel einsetzen und dann berechnen. Bekommst du das selber hin? Vergleichsergebnis hast du ja.

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Coach, könnte es nicht auch sein, dass die mittlere Geschwindigkeit vom loslassen bis zum auftreffen gesucht ist? Warum sonst sollten die 20m Höhe angeben sein?

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Gefragt war in a) nach der mittleren Geschwindigkeit nach 2 Sekunden freien Falls. Nimm einfach dazu den Teil b) weg.

So interpretiere ich das zumindest. Ansonsten hätte dort stehen müssen die mittlerere Geschwindigkeit bis zum auftreffen des Körpers auf dem Boden.

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Bleibt die Frage, wofür die 20m Höhe gegeben sind. Ich denke die mittlere geschwindigkeit bezieht sich auf die gesamte Fallstrecke.

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Danke für die vielen Antworten und Kommentare,

ich habe das jetzt mal nachgerechnet:

Kann das so stimmen.

Ciao Rellis :-)

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Du machst hier grundsätzlich etwas, das aus meiner Sicht nicht nötig ist. Die verwendest den differenzialquotienten (nur ohne den Limes davor) anstatt den differenzenquotienten. Aus meiner Sicht reicht es (hat der Coach auch so vorgeschlagen) anstatt dieser Schreibweise mit dem h einfach folgenden Term zu benutzen Δy/Δx=(f (2)-f (0))/(2-0). Das entspricht der Berechnung der steigung in einem steigungsdreieck, wenn man zwei Punkte hat.

Ansonsten ist dein ergebnis aber richtig, wenn man nicht die durchschnittsgeschwindigkeit auf der gesamten Strecke berechnen will (siehe meine antwort).

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Die Angabe könnte auch statt 20m einfach 500m lauten. Es darf aber nicht viel weniger als 20m sein, weil dann der Körper schon während der 2 Sekunden am Boden liegen bleibt. Und es darf auch nicht viel mehr als 500m sein, weil man dann nicht einfach nur mit g rechnen kann.

Rechnung ist soweit richtig. Zur Formel gibt es zwei unterschiedliche Formeln wobei sie Strukturmäßig gleich sind.

Mittlere Steigung zwischen den Stellen a und b.

m = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Steigung an einer Stelle x als Grenzwert zwischen den Stellen x und x + h wenn h gegen 0 geht.

f'(x) = lim (h --> 0) (f(x + h) - f(x)) / h

Dabei ging die untere Formel aus der obigen hervor. Die obige ist aber der allgemeine Ansatz für die Steigung.

Schon in der Schule in der 8. Klasse Gymnasium hat man gelernt

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Und eigentlich ist das auch genau die gleiche Formel nur anders notiert.

Wichtig ist nicht die Art wie es aufgeschrieben dort steht sondern was dahinter steckt.

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Danke koffi und Mathecoach für die vielen tollen Antworten,

also ich habe bei meiner Rechnung oben eigentlich den differnzialquotienten ausgerechnet und nicht den differenzenquotienten, der die Steigung in dem Dreieck an der Stelle angiebt.

Aber für mich ist noch nicht ganz klar, dass die Rechnung ja stimmt, aber da ich in die falsche Formel eingesetzt habe auch das selbe Ergebnis heraus kommt.

Somit wäre ja bei den Ergebnissen, egal ob ich den differenzialquotienten mit lim h gegen 0

oder den differenzenquotienten mit Delta y / Delta x rechne.

Könntet ihr mir bitte noch einmal erklären, wie ich die Unterscheiden kann oder wie ich jetzt anders rechnen soll

Danke vielmals und einen guten Rutsch.

Ciao Rellis

:-)

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Du hast das doch richtig gerechnet. Bei dir ist nur x0 = 0 und h = 2. Bei dir geht halt das h nicht gegen Null wie es in der Formel eher üblich wäre. Aber auch so wie du es aufgeschrieben hast ist es nicht verkehrt nur eventuell nicht üblich.

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Ah ok danke.

Ich sollte einfach h und xo vertauschen oder?

Aber da gibt es schon einen Unterschied zwischen dem Differenzen und dem differenzialquotienten oder ist das einfach nur die Formel.

weil eigentlich sollte ich ja den Differenzenqu. ausrechnen und nicht den differenzialquotienten.

Danke Rellis

:-)

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der differentialquotient ergibt sich aus dem differenzenquotient wenn h gegen 0 geht. Weil dann Zähler und Nenner gegen 0 gehen.

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Also rechnet man beim ersten einfach ganz normal die Steigung in dem Dreieck aus und beim differenzialquotienten schreibe ich einfach vorne nur den limes von h gegen 0 hin.

Tschuldige dass ich so viel frage.

Danke

Rellis

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Ja. Das wird quasi wie die Steigung in dem Dreieck gerechnet. Ist halt hier nur Anwendungsbezogen etwas anderes. Und f'(x) ist als grenzwert des diferentialquotienten definiert oder kann so definiert werden. Das brauchst du dann aber nicht extra immer mit dazu schreiben.

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Danke Coach für die tollen und lehrreichen Antworten,

danke dass du mir es so gut erklärt hast du bis echt super.

Ich wünsche dir  eine guten Rutsch alles Gute für 2017.

Ciao Rellis :-)

Answer 2

Die mittlere Geschwindigkeit ist jene, die rauskommt, wenn man die gesamte Strecke durch die gesamte Zeit teilt, dadurch bekommt man eine Geschwindigkeit, die ein Objekt hätte, wenn sie die ganze Zeit konstant gewesen wäre. Die momentane Geschwindigkeit hingegen ist die Geschwindigkeit in einen ganz bestimmten Zeitpunkt, welcher in deiner Aufgabe genau angegeben wurde.

für (a) brauchst du also die gesamte Strecke und die gesamte Zeit.

h= -1/2 g t²
t = 20 s
h = -1/2 * 9,81 m/s² * (20 s)² = -1962 m
< v > = h / t = -1962 m / 20 s = -98,1 m/s

Wobei eine negative Geschwindigkeit für "Fallen" steht.

Für die momentane Geschwindigkeit musst du den Punkt des Objektes am Punkt t=20s untersuchen.

v = h' <- Ableitung von h
v = ( -1/2 g t² )' = - g t

Einsetzen:

v_0 = - 9,81 m/s² * 20 s = -196,2 m/s

Wir sehen, wenn wir < v > und v_0 vergleichen, dass es im Mittel langsamer fällt als am tiefsten Punkt seines Fallens. Mit anderen Worten: Da das Objekt immer schneller wird, ist die aktuelle Geschwindigkeit immer höher als die mittlere bisher zurückgelegte Geschwindigkeit.

Comments

Danke Mew für die rasche Antwort.

die Ableitung nach t habe ich auch so gemacht und  auch 196,2m/s heraus bekommen.

Jedoch stellt sich für mich noch die Frage ob man die mittlere Geschwindigkeit nicht auch mit einer Ableitung herausfinden kann.

weil die mittlere Änderungsrate kann man ja auch mit der Bestimmung des Differenzenquotienten gleichsetzen.

Vielleicht weißt du da ja auch noch eine Antwort.

Ciao Rellis

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Nichts für ungut, aber in deiner Antwort stimmt ja wirklich gar nichts.

Answer 3

Ich denke die mittlere geschwindigkeit bezieht sich auf die gesamte Fallstrecke (20m). Also muss man die 20m teilen durch die Zeit die der Körper fällt.

-0,5*a*t^2+h0=0

0,5*a*t^2=h0

0,5*9,81m/s^2*t^2=20m

9,81m/s^2*t^2=40m

t=√(40m/9,81m/s^2)=2,02s

v∅=20m/2,02s=9,9m/s