Kann mir jemand bei der Berechnung dieser Summe helfen? ∑_(i=0)^{n-1} x^{i}

Question

∑_(i=0)^{n-1} x^{i} 

Hallo :)

ich habe Probleme bei der Berechnung dieser Aufgabe

würde mir eventuell jemand helfen können?

Answer 1

Nenne die gesuchte Summe s und schreibe sie so: s=x+x²+x³+x⁴+...+x^n-2+x^n-1. Jetzt bilde das x-fache von s, indem du links und rechts mit x multiplizierst (das ist eine Regel der sogenannten Gleichungslehre, mit der man immer Gleichungen behandeln darf).

x·s=x²+x³+x⁴+x⁵+....+x^n-1+xⁿ (auf der rechten Seite wurde Potenzrechnung angewendet). Jetzt schreibe die beiden Gleichungen so untereinander, dass gleiche Potenzen untereinander stehen:

     x·s=      x²+x³+x⁴+x⁵+....+x^n-1+xⁿ

         s=x+x²+x³+x⁴+...+x^n-2+x^n-1         Subtrahiere diese beiden Zeilen voneinander

x·s - s = - x                                 + xⁿ    oder nach Ausklammern von s folgt s·(x-1)=xⁿ-1 und nach Division durch (x-1) folgt s=(xⁿ-1)/(x-1).

das ist übrigens das Gleiche wie s=(1-xⁿ)/(1-x).(erweitert mit (-1).)

Comments

okay, dann habe ich noch eine letzte frage, ich soll ja auf beiden Seiten mit x multiplizieren aber auf der rechten Seite wurde x addiert, wieso ist das denn so?

tut mir leid für die blöde frage :/

Answer 2

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Answer 3

$$s_n:=\sum_{k=0}^{n-1}x^k$$Falls \(x=1\), ist \(s_n=n\), sonst multipliziere mit \(x\) und erhalte$$x\cdot s_n=x\cdot\sum_{k=0}^{n-1}x^k=\sum_{k=0}^{n-1}x^{k+1}=\sum_{k=1}^nx^k$$Bilde nun die Differenz$$s_n-x\cdot s_n=\sum_{k=0}^{n-1}x^k-\sum_{k=1}^nx^k$$$$s_n\cdot(1-x)=1-x^n$$$$s_n=\frac{1-x^n}{1-x}.$$Gruß

Comments

ich verstehe gerade nicht genau wieso man mit x multiplizieren darf :/

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und woher kommt das x^k+1? :/

Answer 4

Für \((x-1)\ne 0\) gilt$$ \sum_{ i=0 }^{ n-1 } x^i = \dfrac { \left(x-1\right) \cdot \sum_{ i=0 }^{ n-1 } x^i } { \left(x-1\right) } = \dfrac { x^n-1 } { x-1 }. $$Dabei wird nach dem Erweitern mit \((x-1)\) der Zähler ausmultipliziert und zusammengefasst.