Wie berechnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit? Hilfe bei Beispielaufgaben.

Question

Ich brauche Hilfe bei folgenden Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit:

Aufgabe 1:
Die Kinder Andrea, Bernd und Christiane der Eheleute Bruch haben es übernommen, jeden Abend das Geschirr abzuspülen. Die Wahrscheinlichkeit dass Andrea bzw. Bernd bzw. Christiane gerade spült, ist 0,3 bzw. 0,2 bzw. 0,5. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stück zu Bruch geht, ist bei Andrea 0,2, bei Bernd 0,05 und bei Christiane 0,1.
Wieder einmal dringt das Geräusch klirrender Scherben aus der Küche zu den auf dem Balkon sitzenden Eheleuten Bruch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Andrea gerade spült?

Aufgabe 2:
Mutter, Vater und Sohn sind leidenschaftliche Tennis-Spieler. Die Mutter verspricht dem Sohn einen neuen Tennisschläger, wenn er von drei Spielen, die er abwechselnd gegen Mutter und Vater bestreiten soll, zwei in Folge gewinnt. Der Sohn weiß aus Erfahrung, dass er gegen die Mutter in der Regel zwei von drei Spielen verliert und gegen den Vater zwei von drei Spielen gewinnt.
Frage: Gegen wen sollte der Sohn zuerst spielen?

Bis jetzt habe ich nur Baumdiagramme zu den Aufgaben gezeichnet. Ich weiß aber nicht, wie ich die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen soll.

Das ist unsere Definition:

Damit kann ich ehrlich gesagt nicht besonders viel anfangen.

Ich bin mir auch nicht sicher, ob ich die Multiplikationsformel anwenden muss:

Ich wäre dankbar für jede Hilfe!

Answer 1

Erst ein mal ein paar Ereignisse definierien:

A: Andrea spült

B: Bernd spült

C: Christiane spült

S: Es gibt Scherben.

> Die Wahrscheinlichkeit dass Andrea bzw. Bernd bzw. Christiane gerade spült, ist 0,3 bzw. 0,2 bzw. 0,5.

Also P(A) = 0,3, P(B) = 0,2, P(C) = 0,5.

> Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stück zu Bruch geht, ist bei Andrea 0,2, bei Bernd 0,05 und bei Christiane 0,1

Also P(S|A) = 0,2, P(S|B) = 0,05, P(S|C) = 0,1.

> Wieder einmal dringt das Geräusch klirrender Scherben aus der Küche.

Also ist S eingetreten.

> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Andrea gerade spült?

Gesucht ist (weil S eingetreten ist) P(A|S). Diese Wahrscheinlichkeit kannst du aus P(S|A), P(A) und P(S) mit der Formel von Bayes berechnen. P(S|A) und P(A) sind gegeben, P(S) bekommst du mit dem Satz über totale Wahrscheinlichkeit.

Answer 2

1. Die Kinder Andrea, Bernd und Christiane der Eheleute Bruch haben es übernommen, jeden Abend das Geschirr abzuspülen. Die Wahrscheinlichkeit dass Andrea bzw. Bernd bzw. Christiane gerade spült, ist 0.3 bzw. 0.2 bzw. 0.5. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stück zu Bruch geht, ist bei Andrea 0.2, bei Bernd 0.05 und bei Christiane 0.1. Wieder einmal dringt das Geräusch klirrender Scherben aus der Küche zu den auf dem Balkon sitzenden Eheleuten Bruch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Andrea gerade spült?

P(A | Bruch) = P(A und Bruch) / P(Bruch) = 0.3·0.2/(0.3·0.2 + 0.2·0.05 + 0.5·0.1) = 1/2 = 0.5 = 50%

Comments

2. Mutter, Vater und Sohn sind leidenschaftliche Tennis-Spieler. Die Mutter verspricht dem Sohn einen neuen Tennisschläger, wenn er von drei Spielen, die er abwechselnd gegen Mutter und Vater bestreiten soll, zwei in Folge gewinnt. Der Sohn weiß aus Erfahrung, dass er gegen die Mutter in der Regel zwei von drei Spielen verliert und gegen den Vater zwei von drei Spielen gewinnt. Frage: Gegen wen sollte der Sohn zuerst spielen?

P(M) = 1 - 2/3 = 1/3

P(V) = 2/3

Spielt er in der Reihenfolge VMV beträgt seine Gewinnwahrscheinlichkeit

2/3·1/3·1 + 1/3·1/3·2/3 = 8/27

Spielt er in der Reihenfolge MVM beträgt seine Gewinnwahrscheinlichkeit

1/3·2/3·1 + 2/3·2/3·1/3 = 10/27

Er sollte gegen die Mutter zuerst spielen.