Beschränkte (bzw. unbeschränkte) Operatoren

Question

wir haben vor kurzen in der Vorlesung über Operatoren gesprochen. Zuerst haben wir den linearen Operator eingeführt und dafür auch einige Beispiele aufgeführt die ich auch nachvollziehen konnte. Als wir dann normierte VR auf einem reellen (bzw. komplexen) Körper betrachtet haben,  wurden die Begriffe linear beschränkter (-unbeschränkter) Operator eingeführt.

Und hier habe ich einige Probleme mir ein Bsp vorzustellen :

- zum linear beschränkten Operator fällt mir gar nichts ein (die Bsp. auf Wiki verstehe ich nicht). Für ein einfach verständliches Bsp. wäre ich sehr dankbar

- zum linear unbeschränkten Operator wird ein Bsp auf Wiki aufgeführt: $$ A f:=f'$$ auf dem Banachraum $$C[a,b]$$. Hier verstehe ich nicht, warum dieser unbeschränkt ist?

Für ein möglicht einfache aber sachliche Erklärung wäre ich dankbar!

Answer 1

für beschränkte lineare Operatoren gilt :

$$ ||Ax||<=C||x||\\C>0 $$

Das einfachste Beispiel ist die Identität:

$$ Ax=x\\||Ax||=1||x||\\C=1 $$

Dieser Operator erfüllt also die Definition.

Zum unbeschränkten Operator:

Für die Beschränktheit müsste gelten:

$$ D=C^1[a,b]\\Af=f'\\||f'||<=C||f||\\für \quad alle \quad  f \in D $$

Dann kannst du z.B als Funktionen f_n(x)=sin(nx) betrachten. Die Funktionswerte sind beschränkt ( ||f||=1 ), aber die maximale Ableitung der Funktion hängt von n ab, sodass man kein festes C finden kann, dass die Beschränktheit für alle f_n erfüllt.