Vektorraum der Polynome: Gram-Schmidt-Verfahren

Question

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabenstellung:

Über jeden Ansatz/Lösungsschritt würde ich mich freuen!

Answer 1

In Anlehnung an

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens


sind ja die  w1 w2 w3  bei dir 1  x  und x^2 .

 Erst mal das 1. Polynom normieren:

<1,1> =  Integral von -1 bis 1 über 1*1  dx = 2

Also ||1|| = √2   und damit ist  v1 = 1 / √2

Dann v2 ' berechnen v2' = x - <  1 / √2 , x > *  1 / √2

<  1 / √2 , x > = Integral von -1 bis 1 über   1 / √2  *  x  =  0also v2 ' = x   

      Normieren:

< x , x > =   Integral von -1 bis 1 über   x  *  x  =  2/3 

  Also ||x|| = √2 / √3   Und damit    v2 =  v2 ' / ( √2 / √3 ) =  x*√3 / √2


Dann v3 ' = x^2 - <  1 / √2 , x^2 > * v1  -  <   x*√3 / √2  , x^2 > * v2

ausrechnen und normieren.