Orthonormalbasis für Untervektorraum berechnen und Gram-Schmidt-Verfahren anwenden

Question

Aufgabe:

Es sei \( V=\mathbb{R}[x] \) der Vektorraum der reellen Polynome und \( \beta: V \times V \rightarrow \mathbb{R} \) das durch

\( \beta(g, h):=\int \limits_{-1}^{i} g(t) h(t) d t \)

definierte Skalarprodukt.

a) Berechnen Sie \( \beta\left(x^{m}, x^{n}\right) \) für \( n, m \in \mathbb{N}_{0} \).

b) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis für den Unterraum der Polynome vom Grad \( \leq 4 \), indem Sie das Gram-Schmidt-Verfahren auf die Basis \( \left\{1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}\right\} \) anwenden.

Answer 1

Zu a : β(x^m,x^n) = Integral von -1 bis 1 von (x^m*x^n) = Integral von -1 bis 1 von (x^{m+n})
Denke mal integrieren müsstest du können von hier an.

zu B :

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#:~:text=Das%20Gram%2DSchmidtsche%20Orthogonalisierungsverfahren%20ist,Orthogonalsystem%2C%20das%20denselben%20Untervektorraum%20erzeugt.

Da hast du eine Anleitung für das Verfahren mit Beispiel.:)