Berechnen Sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren aus der Basis

Question

Aufgabe:

Mit Gram-Schmidt Verfahren aus Basis V eine Orthonormalbasis V bezüglich eines Skalarproduktes bilden

Text erkannt:

Es sei
\( V=\left\{\left[\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3} \end{array}\right] \mid a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\} \)
der Vektorraum der reellen symmetrischen \( 2 \times 2 \)-Matrizen und
\( \langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{R}, \quad\left\langle\left[\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3} \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} b_{1} & b_{2} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right]\right\rangle=3 a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3} \)
sei ein Skalarprodukt auf \( V \). Berechnen Sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren aus der Basis
\( \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{rr} 0 & -3 \\ -3 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 5 \\ 5 & 1 \end{array}\right]\right\} \)
von \( V \) eine Orthonormalbasis von \( V \) bezüglich des Skalarproduktes \( \langle\cdot, \cdot\rangle . \)

Text erkannt:

Es sei
\( V=\left\{\left[\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3} \end{array}\right] \mid a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\} \)
der Vektorraum der reellen symmetrischen \( 2 \times 2 \)-Matrizen und
\( \langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{R}, \quad\left\langle\left[\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3} \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} b_{1} & b_{2} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right]\right\rangle=3 a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3} \)
sei ein Skalarprodukt auf \( V \). Berechnen Sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren aus der Basis
\( \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{rr} 0 & -3 \\ -3 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 5 \\ 5 & 1 \end{array}\right]\right\} \)
von \( V \) eine Orthonormalbasis von \( V \) bezüglich des Skalarproduktes \( \langle\cdot, \cdot\rangle \).

Comments

Hallo

was kannst du denn nicht mit dem Verfahren, das durchzuführen ist ne Menge Schreibarbeit. Also frag genauer, was du nicht kannst. a) normieren mit dem gegebenen Skalarprodukt ? b) Skalarprodukt bilden?

Gruß lul

Answer 1

Etwa so

\(mdot\left(\left(\begin{array}{rr}a1&a2\\a2&a3\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rr}b1&b2\\b2&b3\\\end{array}\right) \right)\)
\( \rightarrow 3 \) a1 b1 \( + \) a2 b2 \( + \) a3 b3

o_1:=e1/sqrt(mdot(e1,e1))
\( \rightarrow o_{1}:=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{7}} & 0 \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{7}}\end{array}\right) \)

e_2:=e2 - mdot(o_1,e2) o_1 

\( \rightarrow \mathrm{e}_{2}:=\left(\begin{array}{rr}0 & -3 \\ -3 & 0\end{array}\right) \)

o_2:=(e_2) / sqrt(mdot(e_2,e_2))

\( \rightarrow \quad \mathrm{e}_{3}:=\left(\begin{array}{cc}\frac{-2}{7} & 0 \\ 0 & \frac{3}{7}\end{array}\right) \)

e_3:e3 - mdot(o_2,e3) o_2 - mdot(o_1,e3) o_1

o_3:=( e_3) / sqrt(mdot(e_3,e_3))