Zeigen Sie, Formel Flächeninhalt eines Dreiecks

Question

Aufgabe:

b) Laut Vorlesung berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks, das die Eckpunkte
\( \vec{p}_{1}=\left(\begin{array}{l} p_{11} \\ p_{21} \end{array}\right), \quad \vec{p}_{2}=\left(\begin{array}{l} p_{12} \\ p_{22} \end{array}\right), \quad \vec{p}_{3}=\left(\begin{array}{l} p_{13} \\ p_{23} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \)
hat, also die Kanten \( \vec{p}_{2}-\vec{p}_{1}, \vec{p}_{3}-\vec{p}_{1}, \vec{p}_{3}-\vec{p}_{2} \) hat, mittels
\( F=\frac{1}{2}\left|\operatorname{det}\left(\vec{p}_{2}-\vec{p}_{1}, \vec{p}_{3}-\vec{p}_{1}\right)\right| \)
(also: die Hälfte des Flächeninhalts des Parallelogramms (=zweidimensionalen Spats) mit den Kanten \( \left.\vec{p}_{2}-\vec{p}_{1}, \vec{p}_{3}-\vec{p}_{1}\right) \).
Zeigen Sie, dass auch die Formel
\( F=\frac{1}{2}\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} \end{array}\right)\right| \)
korrekt ist, und zwar in folgenden Schritten:
(i) Entwickeln Sie die Determinante in (2) nach der ersten Zeile und drücken Sie das Ergebnis unter Verwendung von Ausdrücken der Form 'det \( \left(\vec{p}_{i}, \vec{p}_{j}\right) \) ' aus.
(ii) Formen Sie die Determinante in (1) um unter Verwendung der Multilinearität.
Bei (i) und (ii) sollte sich das Gleiche ergeben.

Comments

Hallo
Da steht doch genau wie du vorgehen sollst? Wie weit bist du damit gekommen?
lul

Answer 1

\( F=\frac{1}{2}\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} \end{array}\right)\right| \)  =

\( \frac{1}{2}\left|1 \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}  p_{12} & p_{13} \\  p_{22} & p_{23} \end{array}\right)-1\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}  p_{11} & p_{13} \\  p_{21} & p_{23} \end{array}\right)+ 1\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}  p_{11} & p_{12} \\  p_{21} & p_{22} \end{array}\right) \right| \)

\( \frac{1}{2}\left|\operatorname{det}\left(\vec{p}_{2}, \vec{p}_{3}\right)-\operatorname{det}\left(\vec{p}_{1}, \vec{p}_{3}\right)+ \operatorname{det}\left(\vec{p}_{1}, \vec{p}_{2}\right) \right| \)

Das war schon mal der erste Teil.