Grenzwerte bestimmen, bezogen auf die Funktion: (x^{2}+3*x+2)/(x^{2}-1)

Question

für x -> (-) und unendlich habe ich bereits die Grenzwerte berechnet, mir fehlen jetzt nur noch die Grenzwerte für x -> -1, x-> 1^+ und x -> 1^-

-1 habe ich auch schon versucht, ich habe das ausgeklammerte genommen, welches ich für unendlich und -unendlich verwendet habe. Also:

x^{2}*((3/x)+(2/x^{2})/(x^{2}*(1-(1/x^{2}) Habe einfach x durch -1 ersetzt und erhalte dann im zähler -1 und im nenner :

1*(1-1/(-1)^{2} und das ist ja 1, also wäre der Grenzwert laut dieser Rechnung 1, Maple hingegen sagt,dass 1/2 raus kommt, im nenner muss also irgendwie eine 2 rauskommen, sieht jemand den Fehler?

Und was bedeutet dieses 1^+ und 1^-? Von denen muss ich ja auch die Grenzwerte ausrechnen.

Comments

$$\text{Tipp: }\frac{x^2+3x+2}{x^2-1}=\frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+2}{x-1}\text{, für }x\ne-1.$$

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Ach genau, habe das ja gerade noch aufgeschrieben, so einfach.. :D Was bedeutet jetzt 1 hoch + und 1 hoch -? Alles unter 1 und/oder über 1?

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Vermutlich rechts-, bzw. linksseitiger Grenzwert.

Answer 1

Hallogallo,

es wurde die Kurzform der Funktion wie nn angeführt
hat verwendet und x ausgeklammert

Für  x = -1
x = -1  ( 1^2  + 3 * (-1) + 2 ) / ( (-1)^2 - 1 ) = 0 / 0

ein Fall für l´Hospital ( falls du den schon gehabt hast )

[ ( x^2 - 3 * x + 2 ) ] ´/ ([  x^2 -1 ) ] ´

( 2 * x - 3 ) / 2 * x
x = 1  [  ( 2 * 1 - 3 ) / 2 * 1 ] = -1/2

Comments

Hi,

Danke für deine Antwort, ich verstehe alles bis auf den Teil mit 1- und 1+, warum genau ersetzt du das mit 0.99 und 1.01? Ich kann mir das zwar merken, weiß aber nicht warum das so ist. Und warum kommt dann - und+ unendlich raus? :)

Ansonsten schonmal vielen Dank für deine Antwort :D

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Eine gute Nachfrage.

lim x −> 1 ( - ) wäre 1 Tick kleiner als 1 = 0.999999.....
0.999999.. - 1 wäre  -0.000000001  praktisch eine
negative 0 = 0(-)
3 / 0(-) = -∞

Dasselbe für den Fall

lim x −> 1 ( + )
1 ( + ) - 1 = 0 (+)
3 / 0(+) = +∞

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Ok, vielen Dank :) Du hast es besser erklärt als meine Scripte :D

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Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann wieder einstellen.

Answer 2

f(x) = (x^2 + 3·x + 2)/(x^2 - 1) = (x + 2)/(x - 1)

lim (x --> -1) (x + 2)/(x - 1) = ((-1) + 2)/((-1) - 1) = -0.5

lim (x --> 1-) (x + 2)/(x - 1) = 3/(-0) = -∞

lim (x --> 1+) (x + 2)/(x - 1) = 3/(+0) = ∞

Achtung die "3/(-0)" denkt man sich nur beim Einsetzen und schreibt es nicht auf. Ich mache es trotzdem, damit du den Gedankengang nachvollziehen kannst.