Komplexe Polynom - Nullstellen

Question

Hallöchen mal wieder,

Ich stehe grad vor einer Aufgabe, wo ich einfach keinen Ansatz finde. Wir sollen die komplexen Nullstellen folgender Abbildung finden:

$$ f(z):=\frac { 1 }{ 6 } \cdot \frac { 1 }{ z-i } +\frac { 1 }{ 3 } \cdot \frac { 1 }{ z+2i } +\frac { 1 }{ 2 } \cdot \frac { 1 }{ z-(1+i) } \quad mit\quad z\in C\diagdown { (i,−2i,1+i }) $$ (Irgendwie wollte er die geschweiften klammern beim Formeleditor nicht machen) (Und "C" ist hierbei die Menge der komplexen Zahlen)

Dieses Mal fällt mir wirklich kein Ansatz ein. Hätte jemand eine Idee? Höchstwahrscheinlich kommt mir das komplizierter vor als es ist. Hmmm...

Comments

Hast du schon versucht alles auf einen Bruchstrich zu bringen ? (Hauptnenner bestimmen)

Dann Nullstellen des Zählers bestimmen und schauen, ob sie nicht zufällig auch Nullstellen des Nenners sind. Wenn nicht, sind sie Nullstellen der Funktion, die übrigens kein Polynom ist, weil z unter dem Bruchstrich vorkommt.

Answer 1

Auf einen Bruch bringen

1 / (6·(z - i)) + 1 / (3·(z + 2·i)) + 1 / (2·(z - (1 + i)))

= (2·z^2 - z - 2·i^2) / (2·(z - i)·(z - i - 1)·(z + 2·i))

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null wird.

2·z^2 - z - 2·i^2 = 0

z = 1/4 - √15/4·i ∨ z = 1/4 + √15/4·i

Comments

Okay, vielen Dank. ^-^

Da hatte ich den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen.

Die restlichen Aufgaben mache ich dann selbst bzw. habe ich schon gemacht.

Arigatou gozaimasu noch einmal.

Answer 2

Du multiplizierst mit (z-i)( z+2i)(z-1-i)

und bekommst

2 z^2 -z +2=0 ---->PQ-Formel