Wie komme ich bei diesem Polynom auf die komplexen Nullstellen, die in der Lösung als erstes angegeben sind?

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung für \( \mathrm{y}(\mathrm{x}) \) \( y^{(4)}+2 y^{(3)}+9 y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+20 y=0 \) die Lösung \( y=\sin (2 x) \) besitzt und berechnen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung

Lösung:

Charakteristische Gleichung: \( p^{4}+2 p^{3}+9 p^{2}+8 p+20=0 \)

aus Lösung: \( y=\sin 2 x \Rightarrow p_{1,2}=\pm 2 j \)

\( (p-2 j)(p+2 j)=p^{2}+4 \)

Polynomdivision:

\( \left(p^{4}+2 p^{3}+9 p^{2}+8 p+20\right):\left(p^{2}+4\right)=p^{2}+2 p+5 \)

\( \Rightarrow p_{3,4}=-1 \pm 2 j \)

allg. Lösung: \( y=C_{1} \cos 2 x+C_{2} \sin 2 x+e^{-x}\left(C_{3} \cos 2 x+C_{4} \sin 2 x\right) \)

Ich habe kein Problem mit der DGL an sich, sondern mit den Nullstellen der charakteristischen Gleichung. Ich weiß nicht, wie ich auf die komplexen Nullstellen komme.

Comments

omg ich habs grade gecheckt :D

es liegt daran: bei einer komplexen Nullstelle a±bj ist die Lösung y= c₁ * e^ax * cos(bx) + c₂ * e^ax * sin(bx)

Daher kann man aus der vorgegebenen Lösung die komplexe Nullstelle ablesen...

Für alle dies interessiert ;)

Ich bin Mechatronik-Student und das sind exakt die Aufgabe und Kurz-Lösung von einer Matheprüfung aus dem zweiten Semester, von vor ein paar Jahren.

Answer 1

Hallo

probier es mal mit folgender Umformung:

p^4 +2p^3 +9p^2 +8p +20 = 0
(2p)^4 +4(2p)^3 +36(2p)^2 +64(2p) +320 = 0 (kubischen Koeffizient immer auf 4-faches bringen, um dann
        das Binom zu berechnen, also hier: 2p +a3/4 = 2p +1)
(2p +1)^4 +30 (2p +1)^2 +289 = 0
(2p +1)^2 = -15 +/- (225 -289)^0.5
(2p +1)^2 = -15 +/- i * 8
(2p1 +1) = +(1/2((225 +64)^0.5 -15))^0.5 +i*(1/2((225 +64)^0.5 +15))^0.5
(2p3 +1) = -(1/2((225 +64)^0.5 -15))^0.5 -i*(1/2((225 +64)^0.5 +15))^0.5
(2p1 +1) = +(2/2)^0.5 +i*(32/2)^0.5
(2p3 +1) = -(2/2)^0.5 -i*(32/2)^0.5
(2p1 +1) = +1 +i*4
(2p3 +1) = -1 -i*4
2p1 = +i*4
2p3 = -2 -i*4
p1 = +i*2
p3 = -1 -i*2

Comments

Wow...also ich kann zwar nun nachvollziehen was du da gemacht hast, aber auf die Idee wäre ich nie gekommen. Da reicht meine mathematische Ausbildung noch nicht aus. Zumindest kann ich mich nicht dran erinnern jemals gesehen zu haben, dass jemand die Nullstellen eines höhergradigen Polynoms mit Hilfe einer solchen Umformung errechnet.

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Hallo

Wenn Du ein Polynom in p^4 +a3 p^3 +a2 p^2 +a1 p +a0 = 0 gegeben hast, dann koennte es sein, dass für die  Koeffizienten a3, a2, a1 folgendes gilt (ersetze einfach in einer biquadratischen Gleichung (p+b)^4 +k (p +b)^2 +m = 0 = p^4 +a3 p^3 +a2 p^2 +a1 p +a0 = 0        p durch p+b, multipliziere die Potenzen aus, und fasse zusammen ):

a3 = 4 b

a2 = 6 b^2 +k

a1 = 4 b^3 +2 b k

Dann ist eine solche Umformung moeglich. Also kann man

b = a3 / 4   und

k = a2 -6 b^2

berechnen und dann pruefen, ob

a1 = 4 b^3 +2 b k

ist oder nicht. Mithin gilt für diese Bedingung:

a1 = 4 (a3 / 4)^3 +2 * (a3 / 4) * (a2 -6 (a3 / 4)^2)

16 a1 = a3^3 +a3 * (8 a2 -3 a3^2) 

2 a3^3 - 8 a2 * a3 + 16 a1 = 0

Eingesetzt aus dem Beispiel ergibt sich:

2*2^3 -8*9*2 +16*8 = 16 -9*16 +8*16 = 0, d.h. die Umformung ist moeglich.

Viel Spaß mit dem Lösen von Polynomen 4. Grades !

Answer 2

Hi,
damit die Frage beantwortet ist (Du hast schon alles gesagt):

Hat man eine komplexe Nullstelle gegeben, hat man automatisch auch die zweite Lösung -> die komplex konjugierte der ersten.

Grüße