Erst mal f ' bilden: ausgehend von f(x) = x*e-x gibt das
f ' (x) = 1*e-x + x*(-1)*e-x = ( 1 - x ) *e-x
= (-1) * ( x-1) *e-x = (-1)1 * ( x-1) / ex
Die Formel stimmt also für n=1 d.h. für die 1. Ableitung.
Wenn sie für n stimmt, dann ist
f
(n+1)(x) = ( f
(n)(x) ) ' = nach Annahme ( (-1)
n * ( x-n) / e
x ) '
= ( (-1)
n * ( x-n) * e
-x ) '
= (-1)
n * ( ( x-n) * e
-x ) '
= (-1)
n * ( 1 * e
-x + (x-n)*(-1) * e
-x )
= (-1)
n * ( 1 + (x-n)*(-1) ) * e
-x = (-1)
n * ( 1 - x + n) * e
-x = (-1)
n * ( n+1 - x ) * e
-x = (-1)
n+1 * ( x - ( n+1) ) * e
-x = (-1)
n+1 * ( x - ( n+1) ) / e
x Und genau das sagt ja die Formel für n+1 aus ! q.e.d.