Beweis zu Bildern & Urbildern

Question

Hallo ich soll folgende Aufgaben Beweisen:

Es sei F: V → W lineare Abbildung

1. Für jeden Untervektorraum Z ⊆ W ist das Urbild F^-1 (z) ein Untervektorraum von V.

2. Für jeden Untervektorraum U ⊆ V ist das Bild F(U) ein Untervektorraum von W.

Answer 1

das Urbild F^-1 (z) ein Untervektorraum von V.

Jedenfalls ist es eine Teilmenge, die den Nullvektor enthält, denn 0∈Z, weil Z Unterraumund F(0) = 0 gilt immer bei lin. Abb.

bleibt zu zeigen:  F^-1 (z) ist abgeschlossen gegenüber Addition und S-Multiplikation.Seien also x,y aus   F^-1 (z).  D.h. es gibt  u und v aus Z mit F(x)=u und F(y)=vDann ist F(x+y) = u+v wegen der Linearitätund u+v ist in Z, weil Z Unterraum,  also x+y aus   F^-1 (z). entsprechend mit c aus K (der zum Vektorraum gehörende Körper) und x aus   F^-1 (z)bekommst du auch c*x aus    F^-1 (z). 

Das mit dem Bild geht so ähnlich.