Polynome. p3(x)=8x als Linearkombination von p1 und p2 darstellen, usw.

Question

a) Betrachten Sie den Vektorraum \( \mathbb{P}_{2}=:\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} | a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}\right\} \) der Polynome vom Grad \( \leq 2 \).

Gegeben seien die Polynome \( p_{1}(x)=x^{2}+16 \) und \( p_{2}(x)=\left(\frac{1}{2} x+2\right)^{2} \) aus \( \mathbb{P}_{2} \).

i) \( (*) \) Stellen Sie das Polynom \( p_{3}(x)=8 x \) als Linearkombination von \( p_{1} \) und \( p_{2} \) dar.
ii) \( (*) \) Zeigen Sie, dass \( p_{1} \) und \( p_{2} \) linear unabhängig sind.
iii) \( (*) \) Bilden diese beiden Polynome eine Basis von \( \mathbb{P}_{2} ? \) Begründen Sie.

Gegeben sind weiter die Polynome \( p_{4}(x)=x^{2}+x+1, p_{5}(x)=x+1 \) und \( p_{6}(x)=1 \) aus \( \mathbb{P}_{2}  \)

iv) Zeigen Sie, dass die Polynome \( p_{4}, p_{5} \) und \( p_{6} \) linear unabhängig sind.
v) Begründen Sie, dass \( \left(p_{4}, p_{5}, p_{6}\right) \) eine Basis des Vektorraums \( \mathrm{P}_{2} \) ist.
vi) Stellen Sie das Polynom \( p_{7}(x)=3 x^{2}+10 x+5 \) als Linearkombination der Polynome \( p_{4}, p_{5} \)
und \( p_{6} \) dar.

Ich brauche Hilfe zu den Aufgaben i), ii) und iii).

Answer 1

p2(x) = x²/4 +2x +4                p1(x) = x² + 16  


8x  =   4*p2(x)  + (-1) *  p1(x) 

Ansatz  a*p1(x) + b*p2(x) = 0-Polynom 


gibt a=b=0  .  Also lin. unabh.


Nein, keine Basis, weil z.B.  x² nicht damit darstellbar. 

Comments

ist das richtig das da zweimal p1(x) ist?

8x  =   4*p1(x)  + (-1) *  p1(x)

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Ne vertippt. Das eine ist p2.Rechne mal nach !

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& wie kommts du auf 4 und -1

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Kannst ja den Ansatz machen 

a*p1 + b*p2 = 8x   also


b*( x²/4 +2x +4 )  +   a *( x² + 16   )  = 8x 


(b/4  + a ) *x2   + 2bx    +  (16a+4b)  =   8xDa muss dann  2b = 8   und   b/4 + a = 0    und   16a+4b = 0   sein.
und das gibt  b=4   und   a=-1 .