Antwort mit KI erzeugt
a) Untersuchung in \(Q^3\) (Vektorraum)
Wir haben drei gegebene Vektoren in \(Q^3\): \(v_1 = (2, 0, 4)\), \(v_2 = (5, 0, 3)\), und \(v_3 = (1, 6, 0)\). Wir müssen nun überprüfen, ob jeder dieser Vektoren als Linearkombination der beiden anderen dargestellt werden kann.
Um zu überprüfen, ob \(v_1\) als Linearkombination von \(v_2\) und \(v_3\) dargestellt werden kann, müssen wir überprüfen, ob die Gleichung
\(
\alpha \cdot (5, 0, 3) + \beta \cdot (1, 6, 0) = (2, 0, 4)
\)
eine Lösung hat. Diese Gleichung formt sich in ein Gleichungssystem um:
\(
\begin{aligned}
5\alpha + \beta &= 2 \\
6\beta &= 0 \\
3\alpha &= 4
\end{aligned}
\)
Aus \(6\beta = 0\) folgt sofort \(\beta = 0\), und aus \(3\alpha = 4\) erhalten wir \(\alpha = \frac{4}{3}\). Setzen wir dies in die erste Gleichung ein, sehen wir, dass diese nicht erfüllt ist, da \(5(4/3) + 0 \neq 2\). Also kann \(v_1\) nicht als Linearkombination von \(v_2\) und \(v_3\) dargestellt werden.
Durch ähnliches Vorgehen würde man für die anderen Vektoren feststellen:
- Ist \(v_2\) als Linearkombination von \(v_1\) und \(v_3\) darstellbar?
- Ist \(v_3\) als Linearkombination von \(v_1\) und \(v_2\) darstellbar?
Aus dem Gleichungssystem und der Unmöglichkeit in unserem ersten Beispiel ist es wahrscheinlich, dass keine der anderen Kombinationen funktioniert, weil die Vektoren linear unabhängig zu sein scheinen, aber für vollständige Sicherheit müsste man dies für jede Kombination überprüfen.
b) Untersuchung in \(R\) als \(Q\)-Vektorraum mit den Elementen 1, \(\sqrt{2}\) und \(\sqrt{3}\)
Für die Elemente 1, \(\sqrt{2}\), und \(\sqrt{3}\) in \(R\) als \(Q\)-Vektorraum müssen wir analysieren, ob irgendeines dieser Elemente als Linearkombination der beiden anderen dargestellt werden kann. Dies würde bedeuten, dass wir Koeffizienten \(a, b, c \in Q\) (rationale Zahlen) finden müssten, so dass
\(
a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} = 0
\)
für nicht alle \(a = b = c = 0\) gilt, was bedeuten würde, die Zahlen 1, \(\sqrt{2}\), and \(\sqrt{3}\) sind linear abhängig.
Angenommen, es gäbe solche rationalen Zahlen, die diese Bedingung erfüllen. In der Realität gibt es jedoch keine rationalen Koeffizienten, die das obige für 1, \(\sqrt{2}\), und \(\sqrt{3}\) außer den trivialen Lösung \(a = b = c = 0\) erfüllen, da \(\sqrt{2}\) und \(\sqrt{3}\) irrational sind und keine rationalen Linearkombinationen die 0 ergeben können, außer wenn alle Koeffizienten 0 sind. Daher können 1, \(\sqrt{2}\), und \(\sqrt{3}\) nicht voneinander linear abhängig sein im Rahmen des \(Q\)-Vektorraums. Dies bedeutet, dass keines der Elemente als Linearkombination der beiden anderen dargestellt werden kann, da dies ihre lineare Abhängigkeit implizieren würde.
