Untersuchen Sie, ob folgende Vektoren sich als Linearkombinationen von x₁ und x₂ im K-Vektorraum darstellen lassen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob folgende Vektoren \( \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \) sich als Linearkombinationen von \( \mathbf{x}_{1} \) und \( \mathbf{x}_{2} \) im \( K \) - Vektorraum \( V \) darstellen lassen:

(a) \( V-\mathbb{R}^{3}, K-\mathbb{R} ; \mathbf{x}_{1}:-\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 5\end{array}\right), \mathbf{x}_{2}:-\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) ; \mathbf{x}:-\left(\begin{array}{c}3 \\ -2 \\ 12\end{array}\right), \mathbf{y}:-\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 2\end{array}\right), \mathbf{z}:-\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \)

(b) \( V-\mathbb{C}^{3}, K-\mathbb{C} ; \mathbf{x}_{1}:-\left(\begin{array}{l}i \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \mathbf{x}_{2}:-\left(\begin{array}{c}2+i \\ 0 \\ 3-i\end{array}\right) ; \mathbf{x}:-\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ -6+i\end{array}\right), \mathbf{y}:-\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \mathbf{z}:-\left(\begin{array}{c}-1-2 i \\ 2 i \\ 1-3 i\end{array}\right) \)

Untersuchung der folgenden Vektoren, ob diese sich als Linearkombination darstellen lassen.

Answer 1

Die Vektoren x, y und z lassen sich genau dann als Linearkombination von x₁ und x₂ darstellen, wenn die jeweiligen drei Vektoren linear abhängig sind. Das kannst Du prüfen, indem Du sie zu einer Matrix zusammen stellst und deren Determinante berechnest. Ist sie =0, dann sind sie linear abhängig.

Hast Du mehrere Vektoren zu prüfen so wie hier, ist es effizienter zunächst das Kreuzprodukt von x₁ und x₂ zu berechnen und das Ergebnis jeweils skalar mit x, y bzw. z zu multiplizieren.

Es ist $$ x_1 \times x_2 = \left( \begin{aligned} -10 \\ -3 \\ 2 \end{aligned} \right) $$

$$ (x_1 \times x_2) \cdot x = (x_1 \times x_2) \cdot \left( \begin{aligned} 3 \\ -2 \\ 12 \end{aligned} \right) = -30 + 6 +24 = 0$$ sind linear abhängig, also kannst Du x als Linearkombination von x₁ und x₂ darstellen. Bei den anderen Vektoren geht es genauso.

Gruß Werner