Wie bestimmt man, welche Vektoren sich nicht als Linearkombination darstellen lassen?

Question

Habe ich den ersten Teil (den Nachweis linearer Unabhängigkeit) richtig gemacht?

Answer 1

> den Nachweis linearer Unabhängigkeit) richtig gemacht?

Du hast lineare Abhängigkeit nachgewiesen, nicht lineare Unabhängigkeit. Aber das ist nicht schlimm, das solltest du ja schließlich auch.

> Wie bestimmt man, welche Vektoren sich nicht als Linearkombination darstellen lassen?

Bestimme mittels Kreuzprodukt einen Vektor, der senkrecht zu zweien der gegebenen Vektoren ist.

Comments

Aber man muss doch bestimmen, welcher der drei Vektoren  sich nicht als Linearkombination darstellen lässt...

Hab versucht Vektorprodukte zu bilden , erst (1|-1|3)x(1|3|-1) = (-8|4|4)

                                                   UND (1|-1|3)x(1|1|-1) = (-2|4|2)

Kannst du mir bitte nur mit einem Beispiel vormachen , wie man das macht ?

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Nein. Der Vektor, der bestimmt werden soll, kann gar nicht einer der drei gegebenen Vektoren sein. Du kannst jeden Vektor v als v = 1*v + 0*u + 0*w darstellen. Darum geht es nicht.

Du musst einen erfinden, der noch nicht dasteht. Wie du zu dem kommst, hat dir Oswald erklärt.

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Also gibt es dann nur eins und zwar (1|-1|3) , stimmts?

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Zitat:

"Hab versucht Vektorprodukte zu bilden , erst (1|-1|3)x(1|3|-1) = (-8|4|4)

                                                   UND (1|-1|3)x(1|1|-1) = (-2|4|2)

Kannst du mir bitte nur mit einem Beispiel vormachen , wie man das macht ? " Diesen Teil hatte ich noch nicht gesehen, bevor ich meinen Kommentar schrieb.

Du solltest mit dem Kreuzprodukt zueinander parallele Vektoren erhalten. D.h. bei deiner Rechnung stimmt etwas nicht.

"Also gibt es dann nur eins und zwar (1|-1|3) , stimmts? " 

Was möchtest du denn damit sagen? Welche Frage soll das beantworten? 

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Ich habe doch das Kreuzprodukt gebildet und , dann jeweils den dritten Vektor als Linearkombination benutzt....

Die einzigste Linearkombination war doch 1 -1 3 , weil da 1 und nicht 0 rauskommt

(1 3 -1 x 1 1 1) * 1  -1  3

5 -2 -2 * 1  -1  3

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Ist M = {v₁, ..., v_n } eine linear abhängige Menge von Vektoren, dann gibt es in M einen Vektor, der sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt.

Andereseits kann es aber sein, dass sich nicht jeder Vektor aus M als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Ich habe den Eindruck, dass du nach solch einem Vektor suchst. Das brauchst du nicht, das ist nicht die Aufgabenstellung.

Der Vektor, den du suchst, braucht laut Aufgabenstellung nicht in S zu liegen.

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Aber man muss doch mit diesen Vektoren arbeiten

Mit 2 Vektoren Kreuzprodukt bilden und dann den 3 immer als Linearkombination-> Skalarprodukt=0

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> Aber man muss doch mit diesen Vektoren arbeiten

Und das hast du gemacht; du hast zwei der Vektoren ausgewählt und deren Kreuzprodukt berechnet.

> Mit 2 Vektoren Kreuzprodukt bilden und dann den 3 immer als Linearkombination-> Skalarprodukt=0

In diesem Satz fehlt das Verb. Ich weiß nicht, was du meinst.

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Habe das Skalarprodukt ausgerechnet und das war 0.

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Immer noch nicht beantwortet..

Ich will nur wissen, ob der Vektor 1; -1; 3 sich nicht als Linearkombination darstellen lässt -> (5|-2|-2)*(1|-1|3) = 1 ungleich 0

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> ob der Vektor 1; -1; 3 sich nicht als Linearkombination darstellen lässt

Der Vektor (1 -1 3) lässt sich als Linearkombination darstellen, zum Beispiel 1 · (1 -1 3).

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Was kommt wohl raus , wenn man das rechnet.... 1-1+3= 1 ist nicht null...

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> 1-1+3= 1 ist nicht null...

Das ist richtig. Warum erscheint es dir wichtig, das zu erwähnen?

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Aber, wenn es nicht null ist, ist es doch keine Linearkombination???

Oder wie sollte man sonst den Vektor, von dem du redest bestimmen? o.O

Eine klare Antwort wäre nett!

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> Aber, wenn es nicht null ist, ist es doch keine Linearkombination???

Doch.

Definition (Linearkombination). Sind v₁, v₂, ... v_n Vektoren und α₁, α₂, ..., α_n Zahlen, dann heißt der Ausdruck

        α₁v₁ + α₂v₂ + ... + α_nv_n

Linearkombination der Vektoren v₁, v₂, ... v_n,

Insbesondere steht da nichts von null. Die null kommt erst in der nächsten Definition vor.

Definition (Lineare Abhängikeit). Die Vektoren v₁, v₂, ... v_n heißen linear abhängig wenn eine nicht-triviale Linearkombination mit

        α₁v₁ + α₂v₂ + ... + α_nv_n = 0

existiert. Mit nicht-trivial ist gemeint, dass mindestens eines der α_i ≠ 0 ist.

> Eine klare Antwort wäre nett!

Wenn dir meine Antworten nicht klar erschienen, dann liegt das daran, dass du eine falsche Vorstellung davon hattest, was eine Linearkombination ist. Das habe ich aber zunächst nicht erkannt.