Einen gegeben Vektor als Linearkombination von Vektoren darstellen

Question

Aufgabe:

Den Vektor w jeweils als Linearkombination der Vektoren v1, v2 und v3 darstellen.

\( \quad w=(\sin x+\cos x)^{2}, v_{1}=e^{x}+1, v_{2}=e^{x}-1, v_{3}=\sin 2 x \quad( \) Vektorraum \( C(\mathbb{R})) \)

Problem/Ansatz:

Als Ansatz weiß ich, dass  sin( 2x) = 2 sinx cosx ist und komme nicht ganz vorwärts!

Answer 1

Multipliziere die Klammer von w aus.

0,5•v1-0,5•v2+v3=...

Answer 2

Weißt du nicht, dass sin²x+cos²x=1 gilt?

Das doppelte Produkt hast du bereits als 2 sinx cosx =sin(2x) und damit als \(v_3\) richtig interpretiert.

nun musst du nur noch sin²x+cos²x=1  (also nur noch die Zahl 1) als Linearkombination von \(e^{x}+1 \) und \(e^{x}-1 \) erzeugen...

Answer 3

Aloha :)

$$w=(\sin x+\cos x)^2=\sin^2x+\green{2\sin x\cos x}+\cos^2x=1+\green{\sin(2x)}$$$$\phantom{w}=\frac{(e^x+1)-(e^x-1)}{2}+\green{\sin(2x)}=\frac12\cdot\red{(e^x+1)}-\frac12\cdot\blue{(e^x-1)}+1\cdot\green{\sin(2x)}$$