Wie beweist oder widerlegt man diese Aussagen zu Beschränktheit und Abgeschlossenheit

Question

Ich stehe hier leider total auf dem Schlauch und es wäre nett wenn mir da jemand ein wenig weiterhelfen könnte.

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(i) f(x) = arctan(x)

(iii) f(x) = tan(x)

?

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(i) f(x) = 1/(1+x^2)

Also so

~plot~ 1/(1+x^2) ~plot~ 

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(a) A abgeschlossen ⇒ f(A) abgeschlossen,(b) B abgeschlossen ⇒ f−1(B) abgeschlossen(c) A beschränkt ⇒ f(A) beschränkt,(d) B beschränkt ⇒ f−1(B) beschränkt.

Answer 1

(i) ℝ ist abgeschlossen und (-π/2; π/2) ist nicht abgeschlossen. Gib eine stetige surjektive Abbildung von ℝ nach (-π/2; π/2) an.

(ii) [-1; 1] ist abgeschlossen und (-π; π) ist nicht abgeschlossen. Gib eine stetige surjektive Abbildung von (-π; π) nach [-1; 1] an.

(iii) [-1; 1]\{0} ist beschränkt und ℝ\(-1; 1) ist nicht beschränkt. Gib eine stetige surjektive Abbildung von [-1; 1]\{0} nach ℝ\(-1; 1).

(iv) [-1; 1] ist beschränkt und ℝ ist nicht beschränkt. Gib eine stetige Abbildung von ℝ nach [-1; 1] an.

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Hab mir grad fix nen Account gemacht.

Verstehe ich das richtig, alle 4 Aussagen sind falsch und müssen widerlegt werden via Gegenbeispiel?

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Hat mich auch etwas überrascht, aber so ist es.

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Ok vielen Dank schonmal aber ich tue mich grad sehr schwer diese Funktionen zu finden. Mir ist klar, dass es sich um was mit sin(x) und cos(x) handeln muss aber ich komm nicht richtig drauf.

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Kleiner Edit: habe iii) und iv) gerafft aber bei den ersten beiden hakts irgendwie

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i) arctan(x)

ii) sin(x)

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oha bin ganz schön blöd dass mir ii) nicht eingefallen ist. zu i) gibt es leider das problem, dass wir arctan noch nicht in der Vorlesung hatten. Gibt es da noch etwas einfachere Optionen?

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ich steh leider, trotz eurer ausführlichen Hilfe immer noch auf nem Schlauch..... Bezüglich Oswalds Kommentar wie kommen Sie auf ihre angegebenen Werte in den Klammern jeweils??

(i) ℝ ist abgeschlossen und (-π/2; π/2) ist nicht abgeschlossen. Gib eine stetige surjektive Abbildung von ℝ nach (-π/2; π/2) an. 

(ii) [-1; 1] ist abgeschlossen und (-π; π) ist nicht abgeschlossen. Gib eine stetige surjektive Abbildung von (-π; π) nach [-1; 1] an.

(iii) [-1; 1]\{0} ist beschränkt und ℝ\(-1; 1) ist nicht beschränkt. Gib eine stetige surjektive Abbildung von [-1; 1]\{0} nach ℝ\(-1; 1).

(iv) [-1; 1] ist beschränkt und ℝ ist nicht beschränkt. Gib eine stetige Abbildung von ℝ nach [-1; 1] an.

und eine schönen Abend noch!!

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> wie kommen Sie auf ihre angegebenen Werte in den Klammern jeweils

Ich hatte da bestimmte Funktionen im Sinn. Bei (ii) war das z.B. sin(x). Das Bild dieser Funktion auf ℝ ist abgeschlossen (nämlich das abgeschlossene Intervall [-1; 1]), aber sie ist auf ℝ nicht injektiv. Deshalb kann man versuchen, eine nicht abgeschlossene Teilmenge von ℝ zu finden, dessen Bild unter der Sinusfunktion immer noch das abgeschlossene Intervall [-1; 1]. Eine solche Teilmenge ist as offene Intevall (-π; π).