Beschränktheit, Abgeschlossenheit und Kompaktheit von der Menge X

Question

Hi, ich hatte schonmal diese Aufgabe, nur ist die Frage jetzt zu den restlichen drei Teilaufgaben.

Nun zur Aufgabe:

Sei X := {(a,b) : a,b ∈ Q ∩ [0,1]} ⊆ Q^2.

Die Aufgabe ist, folgendes zu untersuchen:
a) Ist X offen
b) Ist X abgeschlossen
c) Ist X beschränkt
d) Ist X kompakt

Meine Lösung:

a) hatte ich ja schon

b) Man wähle die Folge (0, 1/(1+1/n)^n)

Diese ist in beiden Komponenten rational und in [0,1], wodurch sie in X ist. Jedoch ist der Limes (0, 1/e) und diese ist nicht in X, da 1/e zwar in [0,1] liegt, aber irrational ist. Damit ist die Abgeschlossenheit wiederlegt.

c) Wir wählen die zuerst die Norm

||•||_2, also die p-Norm mit p = 2 und dann die Konstante sqrt(2), dann gilt für alle (a,b), (c,d) ∈ X : ||(a,b)-(c,d))|| = sqrt( (a-c)^2 + (c-d)^2 ) ≤ sqrt(1+1) = sqrt(2) wegen a-c ≤ 1+0 = 1 und analog mit der anderen Differenz. Also ist X beschränkt:

d) X ist nicht kompakt, da X ja nicht abgeschlossen ist.

Ist meine Lösung dazu richtig?

Comments

Ich verstehe die Aufgabe so, dass der zugrundeliegende Raum der \(\mathbb{Q}^2\) mit der euklidischen Norm sein soll. Dann konvergiert die von Dir unter b) angegebene Folge nicht und ist kein Gegenbeispiel.

---

Das mit Q^2 war falsch. Da sollte R^2 stehen. Q sollte inmerhalb der Menge nur stehen. Also korrigiert:

X := {(a,b) : a,b ∈ Q ∩ [0,1]} ⊆ R^2

Answer 1

Das ist alles richtig, mit einer kleinen Ungereimtheit:

c) Bei der Beschränktheit untersucht man die Norm eines Elements der Menge, nicht den Abstand zweier. Und ja, es gilt für alle \(x\in X\): \(\|x\|_2\le \sqrt{2}\). Mit der Norm \(p=\infty\) wäre es einfacher, ohne Rechnung.

d) Sicherheitshalber: "kompakt \(\iff\) abgeschlossen und beschränkt" gilt nicht allgemein, sondern nur in endlich-dimensionalen Räumen. So einer liegt hier aber vor, daher kann man das benutzen.

Nochmal: "widerlegen", nicht "wiederlegen".

Comments

Danke sehr!

Ich hatte bei c) folgende Definition genutzt:

Ein metrischer Raum X mit einer Metrik d heisst beschränkt, falls es ein k > 0 gibt, sodass dann: d(x,y) ≤ k für alle x,y ∈ X gilt. In dem Fall ist da die von der euklidischen Norm (p=2-Norm) induzierte Metrik, die Metrik d(x,y) := ||x-y|| & dann habe ich eben die obige Definition angewendet…

Bei d) hast Du Recht. Man sollte dies kurz begründen… bzw. kann man ja auch sagen, das wir uns hier im K^n mit K = R befinden, wo die Äquivalenz ja gilt. Bei unendlich dimensionalen Vektorräume (z.B. Funktionenräume) gilt diese Implikation ja i.A. nicht.

---

Zu c) Ok, dann hast Du die Def. von "beschränkt" aus dem metrischen Raum verwendet, kann man machen. Aber "Metrik" hast Du gar nicht erwähnt. Und wenn man aus einer Norm eine Metrik erzeugt, kann man auch gleich - und eben einfacher - eine Norm, also die Def. von "beschränkt" aus dem normierten Raum, verwenden. Jeder normierte Raum ist ein metrischer, aber nicht umgekehrt. Heißt: Mit Metriken rechnet man, wenn man keine Norm hat.

---

Das stimmt. In den meisten Fällen ist es sowieso einfacher auf Metriken zu verzichten, wenn man die Möglichkeit hat, da die Ausdrücke nicht immer so schön aussehen wie jetzt hier :)

In diesen Fällen kann man ja auch einfach die Metrik d(x,0) nehmen, welche gerade ja die Norm von x ist, also d(x,0) = ||x||.

---

Ich käme gar nicht auf die Idee eine Metrik zu verwenden. Das macht man (ich) nur, wenn man weiß, dass es ein metrischer Raum, aber kein normierter ist.

---

Ja das stimmt. Danke nochmal für Deine Hilfe!