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Sei \( { (a_n) }_{ n\ge 1 } \) eine Folge mit \( { \lim }_{ n\to \infty  }a_n = a \) und \( b_n := \frac{ 1 }{ n } \sum_{ k=1 }^{ n }{ a_k}\). Zeigen Sie \( { \lim }_{ n\to \infty  } b_n = a.\)

Wie kann ich dies zeigen?  Danke vorab =)

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Informiere dich unter https://www.matheretter.de/rechner/latex, wie hier \( \TeX \)-Code eingeben werden kann. Ich habe dieses mal deinen Beitrag repariert.

$$\text{Sei } { (a_n) }_{ n\ge 1 } \text{ eine Folge mit } $$ $$ \lim_{ n\to \infty } a_n = a \text{ und } b_n:= \frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ a_k}.$$ $$\text{Zeigen Sie: } \lim_{ n \to \infty  } b_n=a.$$

1 Antwort

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Hi,

$$ \left|  b_n -a \right| = \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k - a  \right| = \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (a_k - a)  \right| \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n | a_k - a| \le \epsilon $$ falls \( |a_k -a | \le \frac{\epsilon}{n}  \)

Avatar von 39 k

danke für die schnelle Antwort. Nur ganz verstehen tue ich diesen Ansatz nicht um ehrlich zu sein :D.

Ich kann nachvollziehen, warum der Grenzwert "a" sein muss, allerdings nicht wie mir deine Rechnung hier

weiterhilft.

könntest du vielleicht dazu noch etwas erklären?

Hi,

zu zeigen ist, dass es ein \( n_0 \) gibt, s.d. für alle \( n \ge n_0 \) gilt
$$ \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k -a \right| \lt \epsilon $$ für jedes \( \epsilon > 0 \)

Da \( a_k \) gegen \( a \) konvergiert, gibt es ein \( k_0 \) mit \( | a_k - a | < \frac{\epsilon}{2} \) für alle \( k \ge k_0 \)
Jetzt folgt
$$ \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k -a \right| \le \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^{k_0} |a_k - a| + \sum_{k=k_0+1}^n |a_k- a|  \right) \le \frac{1}{n} \left( k_0 \cdot M + n \cdot \frac{\epsilon}{2}\right) $$
Wählt man jetzt \( n_0 \) das gilt \( \frac{k_0}{n_0} \cdot M \le \frac{\epsilon}{2} \) folgt die Behauptung.
Für \( M \) gilt
$$ M = \max_{k=1 \cdots k_0 } \{ |a_k -a| \}  $$

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