Grenzwert von Folgen zz: lim(bn)=a

Question

Sei \( { (a_n) }_{ n\ge 1 } \) eine Folge mit \( { \lim }_{ n\to \infty  }a_n = a \) und \( b_n := \frac{ 1 }{ n } \sum_{ k=1 }^{ n }{ a_k}\). Zeigen Sie \( { \lim }_{ n\to \infty  } b_n = a.\)

Wie kann ich dies zeigen?  Danke vorab =)

Comments

Informiere dich unter https://www.matheretter.de/rechner/latex, wie hier \( \TeX \)-Code eingeben werden kann. Ich habe dieses mal deinen Beitrag repariert.

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$$\text{Sei } { (a_n) }_{ n\ge 1 } \text{ eine Folge mit } $$ $$ \lim_{ n\to \infty } a_n = a \text{ und } b_n:= \frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ a_k}.$$ $$\text{Zeigen Sie: } \lim_{ n \to \infty  } b_n=a.$$

Answer 1

Hi,

$$ \left|  b_n -a \right| = \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k - a  \right| = \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (a_k - a)  \right| \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n | a_k - a| \le \epsilon $$ falls \( |a_k -a | \le \frac{\epsilon}{n}  \)

Comments

danke für die schnelle Antwort. Nur ganz verstehen tue ich diesen Ansatz nicht um ehrlich zu sein :D.

Ich kann nachvollziehen, warum der Grenzwert "a" sein muss, allerdings nicht wie mir deine Rechnung hier

weiterhilft.

könntest du vielleicht dazu noch etwas erklären?

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Hi,

zu zeigen ist, dass es ein \( n_0 \) gibt, s.d. für alle \( n \ge n_0 \) gilt
$$ \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k -a \right| \lt \epsilon $$ für jedes \( \epsilon > 0 \)

Da \( a_k \) gegen \( a \) konvergiert, gibt es ein \( k_0 \) mit \( | a_k - a | < \frac{\epsilon}{2} \) für alle \( k \ge k_0 \)
Jetzt folgt
$$ \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k -a \right| \le \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^{k_0} |a_k - a| + \sum_{k=k_0+1}^n |a_k- a|  \right) \le \frac{1}{n} \left( k_0 \cdot M + n \cdot \frac{\epsilon}{2}\right) $$
Wählt man jetzt \( n_0 \) das gilt \( \frac{k_0}{n_0} \cdot M \le \frac{\epsilon}{2} \) folgt die Behauptung.
Für \( M \) gilt
$$ M = \max_{k=1 \cdots k_0 } \{ |a_k -a| \}  $$